Cara Cepat Menyelesaikan Soal Barisan Bilangan

Berikut ini cara mudah dan cepat untuk menyelesaikan beberapa soal yang berhubungan dengan masalah Barisan dan deret Aritmatika.

Contoh soal 1:

Suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-4 adalah 50 dan suku ke-7 adalah 80. Berapakah jumlah 12 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

CARA BIASA

$\begin{array}{l} {U_n} = a + \left( {n - 1} \right)b\\ {U_4} = a + \left( {4 - 1} \right)b\\ \Leftrightarrow 50 = a + 3b\\ \Leftrightarrow a + 3b = 50 \cdots \left( 1 \right)\\ {U_7} = a + \left( {7 - 1} \right)b\\ \Leftrightarrow 80 = a + 6b\\ \Leftrightarrow a + 6b = 80 \cdots \left( 2 \right) \end{array}$

Eliminasi $\left( 1 \right)$ dan $\left( 2 \right)$ diperoleh:

$\begin{array}{l} a + 3b = 50 \cdots \left( 1 \right)\\ \underline {a + 6b = 80 \cdots \left( 2 \right)} - \\ \Leftrightarrow - 3b = - 30\\ \Leftrightarrow b = \frac{{ - 30}}{{ - 3}} = 10 \cdots \left( 3 \right) \end{array}$

Substitusikan persamaan $\left( 3 \right)$ ke $\left( 1 \right)$, diperoleh:

$\begin{array}{l} a + 3b = 50 \cdots \left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow a + 3 \times 10 = 50\\ \Leftrightarrow a + 30 = 50\\ \Leftrightarrow a = 50 - 30\\ a = 20 \end{array}$

Jumlah 12 suku pertama dari deret tersebut adalah:

$\begin{array}{l} {S_n} = \frac{n}{2}\left( {2a + \left( {n - 1} \right)b} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = \frac{{12}}{2}\left( {2 \times 20 + \left( {12 - 1} \right) \times 10} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 6\left( {40 + 11 \times 10} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 6\left( {40 + 110} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 6 \times 150\\ \therefore {S_{12}} = 900 \end{array}$

CARA CEPAT

Mencari nilai $b$

$\begin{array}{l} b = \frac{{{U_7} - {U_4}}}{{7 - 4}}\\ \Leftrightarrow b = \frac{{80 - 50}}{3}\\ \Leftrightarrow b = \frac{{30}}{3} = 10 \end{array}$

Jumlah 12 suku pertama dari deret tersebut adalah:

${S_{12}} = \frac{{12}}{2}\left( {{U_4} + {U_7} + 2b} \right)$

Yang ditekankan di sini jumlah index dan koefisien $b$ harus sama dengan $12+1$. $\left( {4 + 7 + 2 = 12 + 1} \right)$

$\begin{array}{l} {S_{12}} = \frac{{12}}{2}\left( {{U_4} + {U_7} + 2b} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 6\left( {50 + 80 + 2 \times 10} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 6\left( {50 + 80 + 20} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 6\left( {150} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{12}} = 900 \end{array}$

Contoh Soal 2:

Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 suku pertama adalah ....

1. 531
2. 666
3. 1.062
4. 1.332

(UN SMP 2012 Paket A13)

Jawab:

CARA CEPAT

Mencari nilai $b$

$\begin{array}{l} b = \frac{{{U_{11}} - {U_7}}}{{11 - 7}}\\ \Leftrightarrow b = \frac{{34 - 22}}{4}\\ \Leftrightarrow b = \frac{{12}}{4} = 3 \end{array}$

Jumlah 18 suku pertama dari deret tersebut adalah:

$\begin{array}{l} {S_{18}} = \frac{{18}}{2}\left( {{U_{11}} + {U_7} + b} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{18}} = 9\left( {34 + 22 + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{18}} = 9\left( {59} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{18}} = 531 \end{array}$