Menyelesaikan Soal Program Linear dengan Cepat

CONTOH SOAL

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah ....

Penyelesaian

Misal :

• $x$ = banyak sepeda gunung.
• $y$ = banyak sepeda balap

Jenis sepeda	Jumlah sepeda	Harga sepeda	keuntungan
Sepeda gunung $(x)$	$x$	$1.500.000x$	$500.000x$
Sepeda balap $(y)$	$y$	$2.000.000y$	$600.000y$
Jumlah	$25$	$42.000.000$

Dari tabel di atas diperoleh Model Matematika sebagai berikut:

• $x + y= 25$ (1)
• $1.500.000x + 2.000.000 = 42.000.000 \Rightarrow 3x + 4y = 84\left( 2 \right)$
• $x \ge 0,y \ge 0$
• dengan fungsi tujuan $z\left( {x,y} \right) = 500.000x + 600.000y$

SKETSA GRAFIK

$x + y = 25$

x	0	25
y	25	0

Titik potong $(0,25)$ dan $(25,0)$

3x + 4y = 84

x	0	28
y	21	0

Titik potong $(0,21)$ dan $(28,0)$

Eliminasi $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} x + y = 25\\ 3x + 4y = 84\\ \\ \end{array}&\begin{array}{l} \left( { \times 3} \right)\\ \left( { \times 1} \right)\\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \end{array}&\begin{array}{l} 3x + 3y = 75\\ \underline {3x + 4y = 84} - \\ - y = - 9\\ y = 9 \end{array} \end{array}$

Substitusi $y=9$ ke persamaan (1)

$\begin{array}{l} x + y = 25\\ \Leftrightarrow x + 9 = 25\\ \Leftrightarrow x = 25 - 9\\ \Leftrightarrow x = 16 \end{array}$

Titik potong $(16,9)$

Untuk memilih titik potong terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$, kita tinggal memilih titik yang paling dekat ke pusat koordinat $(0,0)$.

• Titik potong terhadap sumbu $X$ adalah $(25,0)$ dan $(28,0)$ maka pilih yang $(25,0)$.
• Titik potong terhadap sumbu $Y$ adalah $(0,25)$ dan $(0,21)$ maka pilih yang $(0,21)$.

Jadi terdapat 3 titik yang dapat kita uji pada fungsi tujuan $z\left( {x,y} \right) = 500.000x + 600.000y$.

Titik	Fungsi tujuan	keuntungan
$(25,0)$	$500.000 \times 25 + 600.000 \times 0$	$12.500.000$
$(0,21)$	$500.000 \times 0 + 600.000 \times 21$	$12.600.000$
$(16,9)$	$500.000 \times 15 + 600.000 \times 9$	$12.900.000$

Dari tabel di atas, keuntungan maksimal yang dapat diperoleh adalah Rp12.900.000,-.

CATATAN

1. Cara di atas digunakan jika Model Matematika yang diperoleh adalah kurang dari, jika model matematika yang diperoleh adalah lebih dari maka titik potong yang dipilih adalah yang paling jauh dari pusat koordinat (0,0).
2. Titik yang diperoleh dari hasil eliminasi wajib diikutkan pada pengujian.

Semoga bermanfaat