Membuktikan Rumus Volume Bola dengan Menggunakan Integral

Kita sudah mengetahui bahwa rumus volume bola adalah

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Dengan π = 3,14 atau $\pi = \frac{{22}}{7}$ dan r = jari-jari bola.

Tetapi apakah kita sudah mengetahui dari mana rumus tersebut diperoleh. Pada kesempatan kali ini kita akan mencoba membuktikan atau menemukan rumus tersebut dengan pendekatan volume benda putar menggunakan integral.

Namun sebelumnya kita harus ingat-ingat dulu rumus untuk mencari volume benda putar secara umum.

\[V = \pi {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right)} \right]} ^2}dx\]

Dengan a = batas bawah, b = batas atas dan f(x) adalah fungsi f.

VOLUME BOLA

Untuk mencari volume bola kita menggunakan pendekatan persamaan lingkaran. Perhatikan grafik berikut:

Persamaan lingkaran pada gambar di atas adalah:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {r^2}\\{y^2} = {r^2} - {x^2}\\y =  \pm \sqrt {{r^2} - {x^2}} \end{array}$

Diperoleh

$y = \sqrt {{r^2} - {x^2}}  \vee y =  - \sqrt {{r^2} - {x^2}} $

Dengan menggunakan rumus volume benda putar didapatkan sebagai berikut:

$\begin{array}{l}V = \pi {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right)} \right]} ^2}dx\\V = \pi \int\limits_{ - r}^r {{y^2}dx} \\V = \pi {\int\limits_{ - r}^r {\left[ {\sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right]} ^2}dx\\V = \pi \int\limits_{ - r}^r {\left( {{r^2} - {x^2}} \right)} dx\\V = \pi \left[ {{r^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right]_{ - r}^r\\V = \pi \left[ {\left( {{r^2}.r - \frac{1}{3}{r^3}} \right) - \left( {{r^2}. - r - \frac{1}{3}{{\left( { - r} \right)}^3}} \right)} \right]\\V = \pi \left[ {\left( {{r^3} - \frac{1}{3}{r^3}} \right) - \left( { - {r^3} + \frac{1}{3}{r^3}} \right)} \right]\\V = \pi \left[ {{r^3} - \frac{1}{3}{r^3} + {r^3} - \frac{1}{3}{r^3}} \right]\\V = \pi \left[ {\frac{4}{3}{r^3}} \right]\\V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\end{array}$

Dari hasil terakhir ini, bisa kita buktikan rumus volume bola dengan menggunakan rumus volume benda putar. Sekian, semoga bermanfaat.