Menentukan Rumus Volume Elipsoida Prolat dengan menggunakan Integral

Elipsoida adalah bentuk tiga dimensi dari bangun datar elips. Secara umum persamaan elipsoida pada dimensi tiga adalah sebagai berikut:

\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]

dimana:

$a$, $b$, dan $c$ adalah sumbu-sumbu pada elipsoida.

Dengan melihat nilai dari $a$, $b$, dan $c$, bangun ruang elipsoida terdiri dari 4 jenis yang berbeda yaitu :

1. Elipsoida triaksial, jika $a > b > c$.

2. Elipsoida oblat, jika $a = b > c$.

3. Elipsoida prolat, jika $a = b < c$.

4. Bola, jika $a = b = c$.

Dari pembagian jenis di atas kita tahu bahwa ternyata bola merupakan bagian dari elipsoida.

Mencari Rumus Volume Elipsoida Prolat

Pada elipsoda prolat berlaku $a = b < c$. Secara sekilas bentuknya menyerupai telur atau bola sepakbola USA.

Untuk menentukan volume kita akan menggunakan rumus volume benda putar. Dalam hal ini adalah elips yang diputar 360^o terhadap sumbu X. 

Persamaan elips adalah

\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Persamaan tersebut jika dinyatakan dalam variabel $x$ menjadi

$\begin{array}{*{20}{c}}    {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1}  \\    { \Leftrightarrow {b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}}  \\    { \Leftrightarrow {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} - {b^2}{x^2}}  \\    { \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{{a^2}{b^2} - {b^2}{x^2}}}{{{a^2}}}}  \\    { \Leftrightarrow {y^2} = {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}}  \\    { \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} }  \\ \end{array}$ $\begin{array}{*{20}{c}} { \Leftrightarrow {y_1} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}}  \vee  \Leftrightarrow {y_2} =  - \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} }  \\ \end{array}$

Dari hasil terakhir terdapat dua persamaan yang bisa kita gunakan, dengan memilih persamaan yang pertama untuk batas bawah -a dan batas atas a, diperoleh 

$\begin{array}{*{20}{c}}    {V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} dx}  \\    {V = \pi \int\limits_{ - a}^a {{y^2}dx} }  \\    {V = \pi \int\limits_{ - a}^a {{{\left[ {\sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} } \right]}^2}} dx}  \\    {V = \pi \int\limits_{ - a}^a {\left( {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} \right)} dx}  \\    {V = \pi \left[ {{b^2}x - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2}}}{x^3}} \right]_{ - a}^a}  \\    {V = \pi \left[ {\left( {{b^2}.a - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2}}}{a^3}} \right) - \left( {{b^2}. - a - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2}}}{{\left( { - a} \right)}^3}} \right)} \right]}  \\    {V = \pi \left[ {\left( {a{b^2} - \frac{1}{3}a{b^2}} \right) - \left( { - a{b^2} + \frac{1}{3}a{b^2}} \right)} \right]}  \\    {V = \pi \left[ {a{b^2} - \frac{1}{3}a{b^2} + a{b^2} - \frac{1}{3}a{b^2}} \right]}  \\    {V = \pi \left[ {\frac{4}{3}a{b^2}} \right]}  \\    {V = \frac{4}{3}\pi a{b^2}}  \\ \end{array}$

Dari hasil terakhir dapat disimpulkan bahwa volume elipsoida prolat dengan sumbu mayor a dan sumbu minor b adalah

\[\boxed{{V = \frac{4}{3}\pi a{b^2}}}\]

Semoga bermanfaat.

nurhamim86 A Mathematics Teacher who also likes the IT world.

Share