Menentukan Rumus Volume Elipsoida Oblat dengan Menggunakan Integral

By nurhamim86 3 comments

Elipsoida adalah bentuk tiga dimensi dari bangun datar elips. Secara umum persamaan elipsoida pada dimensi tiga adalah sebagai berikut:

\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]

dimana:

a, b, dan c adalah sumbu-sumbu pada elipsoida.

Dengan melihat nilai dari $a$, $b$, dan $c$, bangun ruang elipsoida terdiri dari 4 jenis yang berbeda yaitu :

1. Elipsoida triaksial, jika $a > b > c$.

2. Elipsoida oblat, jika $a = b > c$.

3. Elipsoida prolat, jika $a = b < c$.

4. Bola, jika $a = b = c$.

Dari pembagian jenis di atas kita tahu bahwa ternyata bola merupakan bagian dari elipsoida. Untuk volume elipsoida prolat sudah dibahas pada postingan sebelumnya. Jika sebelumnya belum membaca, bisa diklik di sini.

Mencari Rumus Volume Elipsoida Oblat

Pada elipsoda prolat berlaku $a = b < c$. Secara sekilas bentuknya menyerupai cakram.

Untuk menentukan volume kita akan menggunakan rumus volume benda putar. Dalam hal ini adalah elips yang diputar 360^o terhadap sumbu Y.

Persamaan elips adalah

\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Persamaan tersebut jika dinyatakan dalam variabel y menjadi

$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1} \\ { \Leftrightarrow {b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}} \\ { \Leftrightarrow {b^2}{x^2} = {a^2}{b^2} - {a^2}{y^2}} \\ { \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^2}{b^2} - {a^2}{y^2}}}{{{b^2}}}} \\ { \Leftrightarrow {x^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} \\ { \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} } \\ \end{array}$ $\begin{array}{*{20}{c}} { \Leftrightarrow {x_1} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} \vee \Leftrightarrow {x_2} = - \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} } \\ \end{array}$

Dari hasil terakhir terdapat dua persamaan yang bisa kita gunakan, dengan memilih persamaan yang pertama untuk batas bawah $-b$ dan batas atas $b$, diperoleh

$\begin{array}{*{20}{c}} {V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( y \right)} \right]}^2}} dy} \\ {V = \pi \int\limits_{ - b}^b {{x^2}dy} } \\ {V = \pi \int\limits_{ - b}^b {{{\left[ {\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} } \right]}^2}} dy} \\ {V = \pi \int\limits_{ - b}^b {\left( {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} \right)} dy} \\ {V = \pi \left[ {{a^2}x - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}{y^3}} \right]_{ - b}^b} \\ {V = \pi \left[ {\left( {{a^2}.b - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}{b^3}} \right) - \left( {{a^2}. - b - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}{{\left( { - b} \right)}^3}} \right)} \right]} \\ {V = \pi \left[ {\left( {{a^2}b - \frac{1}{3}{a^2}b} \right) - \left( { - {a^2}b + \frac{1}{3}{a^2}b} \right)} \right]} \\ {V = \pi \left[ {{a^2}b - \frac{1}{3}{a^2}b + {a^2}b - \frac{1}{3}{a^2}b} \right]} \\ {V = \pi \left[ {\frac{4}{3}{a^2}b} \right]} \\ {V = \frac{4}{3}\pi {a^2}b} \\ \end{array}$

Dari hasil terakhir dapat disimpulkan bahwa volume elipsoida oblat dengan sumbu mayor $a$ dan sumbu minor $b$ adalah

\[\boxed{{V = \frac{4}{3}\pi {a^2}b}}\]

Semoga bermanfaat.