Luas Permukaan Kerucut Terpancung dengan Menggunakan Integral

Setelah sebelumnya saya pernah mencari dan membuktikan volume kerucut terpancung, maka pada kesempatan kali ini kurang rasanya jika luas permukaan benda tersebut tidak ikut dicari juga. Bagi yang sebelumnya belum membaca bagaimana mencari rumus volume kerucut terpancung, anda bisa membaca pada pada postingan sebelumnya dengan klik di sini.

Sebelumnya sekedar mengingatkan bahwa kerucut yang akan saya cari rumusnya ini adalah kerucut dengan penampang melintang berbentuk lingkaran. Sehingga secara visual bentuknya mirip ember yang terbalik, dengan mulut ember berbentuk lingkaran. Gambarnya kurang lebih seperti berikut:

Jika digambarkan dengan ukuran-ukurannya adalah sebagai berikut:

Mencari Rumus Luas Permukaan Kerucut Terpancung

Untuk mencari rumus luas permukaan kita akan menggunakan luas permukaan bangun benda putar. Sebelumnya kita harus menentukan dulu grafik yang akan kita putar. Untuk kerucut terpancung grafiknya adalah sebagai berikut:

Persamaan grafik/garis di atas dapat dicari sebagai berikut:

$\begin{array}{l}  \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} \\   \Leftrightarrow \frac{{y - 0}}{{t - 0}} = \frac{{x - R}}{{r - R}} \\   \Leftrightarrow \frac{y}{t} = \frac{{x - R}}{{r - R}} \\   \Leftrightarrow t\left( {x - R} \right) = y\left( {r - R} \right) \\   \Leftrightarrow tx - tR = y\left( {r - R} \right) \\   \Leftrightarrow tx = y\left( {r - R} \right) + tR \\   \Leftrightarrow x = \frac{{y\left( {r - R} \right) + tR}}{t} \\   \Leftrightarrow x = \left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)y + R \\  \end{array}$

Untuk alas dan bagian atas/tutup langsung dapat kita cari dengan rumus lingkaran.

$\begin{array}{l}  {L_{alas}} = \pi {R^2} \\  {L_{atas/tutup}} = \pi {r^2} \\  \end{array}$

Sedangkan untuk luas selimut,bisa dicari dengan menggunakan rumus luas permukaan benda putar.

$\begin{array}{l}  x = \left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)y + R \\  x' = \left( {\frac{{r - R}}{t}} \right) \\  {L_{se\lim ut}} = 2\pi \int\limits_a^b {x\sqrt {1 + {{\left( {x'} \right)}^2}} } dy \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \int\limits_0^t {\left[ {\left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)y + R} \right]\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)}^2}} } dy \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \int\limits_0^t {\left[ {\left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)y + R} \right]\sqrt {\frac{{{t^2}}}{{{t^2}}} + \frac{{{{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} } dy \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \int\limits_0^t {\left[ {\left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)y + R} \right]\sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} } dy \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} \int\limits_0^t {\left[ {\left( {\frac{{r - R}}{t}} \right)y + R} \right]} dy \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} \left[ {\left( {\frac{{r - R}}{{2t}}} \right){y^2} + Ry} \right]_0^t \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} \left[ {\left( {\left( {\frac{{r - R}}{{2t}}} \right){t^2} + Rt} \right) - \left( {\left( {\frac{{r - R}}{{2t}}} \right){{.0}^2} + R.0} \right)} \right]_0^t \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} \left[ {\left( {\frac{1}{2}\left( {r - R} \right)t + Rt} \right) - 0} \right] \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} .\left( {\frac{1}{2}rt + \frac{1}{2}Rt} \right) \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = \pi t\sqrt {\frac{{{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{t^2}}}} .\left( {r + R} \right) \\   \Leftrightarrow {L_{se\lim ut}} = \pi \left( {r + R} \right)\sqrt {{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}  \\  \end{array}$

Dengan menggabungkan ketiga luas maka luas permukaan kerucut terpancung adalah

$\begin{array}{l}  L = {L_{tutup}} + {L_{alas}} + {L_{se\lim ut}} \\   \Leftrightarrow L = \pi {r^2} + \pi {R^2} + \pi \left( {r + R} \right)\sqrt {{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}}  \\   \Leftrightarrow L = \pi \left( {{r^2} + {R^2} + \left( {r + R} \right)\sqrt {{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}} } \right) \\  \end{array}$

Kesimpulan

Luas permukaan kerucut terpancung dengan jari-jari tutup r, jari-jari alas R dan tinggi t adalah

$L = \pi \left( {{r^2} + {R^2} + \left( {r + R} \right)\sqrt {{t^2} + {{\left( {r - R} \right)}^2}} } \right)$

Cukup sekian postingan sederhana dari saya.

Semoga bermanfaat