Menyelesaikan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang dapat dicari dengan tiga metode yaitu:

1. Pemfaktoran. 
2. Melengkapkan kuadrat sempurna.
3. Dengan rumus ABC.

Untuk metode yang pertama sudah pernah kita bahas pada artikel sebelumnya. Bagi yang masih perlu pemahaman lebih lanjut bisa dibuka pada artikel sebelumnya. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas tentang mencari akar persamaan kuadrat dengan metode yang kedua, yaitu melengkapkan kuadrat sempurna. Namun sebelum kita bahas lebih lanjut, perlu kita ketahui dulu rumus kuadrat sempurna berikut:

${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}$

${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}$

Sebagai contoh:

Jika kita punya persamaan kuadrat dapat diubah dalam kuadrat sempurna sebagai berikut

${x^2} + 6x + 9 = {x^2} + 2.x.3 + {3^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}$ ${x^2} - 8x + 16 = {x^2} + 2.x.\left( { - 4} \right) + {\left( { - 4} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2}$

Konsep ini nantinya akan dipakai untuk mencari akar

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk mempermudah pemahaman kita mengenai cara yang kedua ini, langsung saya sajikan dalam bentuk contoh soal.

CONTOH 1

Tentukan akar-akar Persamaan Kuadrat berikut:

${x^2} + 4x + 3 = 0$

Jawab:

${x^2} + 4x + 3 = 0$

langkah pertama, konstanta persamaan ini yaitu 3 kita pindah ke ruas kanan. hasilnya adalah sebagai berikut:

${x^2} + 4x = - 3$

langkah berikutnya ruas kiri dan ruas kanan kita tambah dengan setengah koefisien x kemudian dikuadratkan. Di soal ini koefisien x adalah 4, jadi setengahnya adalah 2. Berarti kedua ruas ditambah dengan ${2^2}$. Hasilnya sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} + 4x + {2^2} = - 3 + {2^2}\\ {x^2} + 4x + 4 = - 3 + 4\\ {x^2} + 4x + 4 = 1 \end{array}$

ruas kiri yaitu ${x^2} + 4x + 4$ dapat kita ubah menjadi ${\left( {x + 2} \right)^2}$ sehingga diperoleh sebagai berikut:

${\left( {x + 2} \right)^2} = 1$

jika kedua ruas kita akar kuadrat, diperoleh:

$\begin{array}{l} \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \sqrt 1 \\ \left( {x + 2} \right) = \pm 1 \end{array}$

Ingat bahwa akar 1 hasilnya ada dua yaitu 1 dan -1. Dari sini nanti ada 2 nilai x yang kita peroleh yaitu:

$\begin{array}{l} x + 2 = 1\\ x = 1 - 2 = - 1 \end{array}$

atau

$\begin{array}{l} x + 2 = - 1\\ x = - 1 - 2 = - 3 \end{array}$

Sehingga Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah

$HP = \left\{ { - 3, - 1} \right\}$

CONTOH 2:

Tentukan akar-akar Persamaan Kuadrat berikut:

${x^2} - 7x + 12 = 0$

Jawab:

$\begin{array}{l} {x^2} - 7x + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x = - 12 \end{array}$

kedua ruas ditambah dengan setengah dari koefisien x dikuadratkan. Koefisien x adalah $-7$, sehingga kedua ruas harus ditambah dengan ${\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2}$. Diperoleh:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} = - 12 + {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = - 12 + \frac{{49}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 48}}{4} + \frac{{49}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow x - \frac{7}{2} = \pm \sqrt {\frac{1}{4}} \\ \Leftrightarrow x - \frac{7}{2} = \pm \frac{1}{2}\\ x - \frac{7}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4\\ x - \frac{7}{2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = - \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{6}{2} = 3\\ HP = \left\{ {3,4} \right\} \end{array}$

CONTOH 3

Tentukan akar-akar Persamaan Kuadrat berikut: $2{x^2} - 9x + 9 = 0$

Jawab:

$\begin{array}{l} 2{x^2} - 9x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x = - 9 \end{array}$

Agar ${x^2}$ berkoefisien 1 maka kedua ruas dibagi 2, diperoleh:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 9x}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - \frac{9}{2}x = - \frac{9}{2} \end{array}$

kedua ruas ditambah dengan setengah dari koefisien x dikuadratkan. Koefisien x adalah ${ - \frac{9}{2}}$, sehingga kedua ruas harus ditambah dengan ${\left( { - \frac{9}{2}} \right)^2}$. Diperoleh:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - \frac{9}{2}x + {\left( { - \frac{9}{4}} \right)^2} = - \frac{9}{2} + {\left( { - \frac{9}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{9}{4}} \right)^2} = - \frac{9}{2} + \frac{{81}}{{16}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{9}{4}} \right)^2} = \frac{{ - 72}}{{16}} + \frac{{81}}{{16}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{9}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\\ \Leftrightarrow x - \frac{9}{4} = \pm \sqrt {\frac{9}{{16}}} \\ \Leftrightarrow x - \frac{9}{4} = \pm \frac{3}{4}\\ x - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\\ x - \frac{9}{4} = - \frac{3}{4} \Rightarrow x = - \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\\ HP = \left\{ {\frac{3}{2},3} \right\} \end{array}$

Demikian contoh yang saya berikan. Semoga bisa dipahami dan dimengerti

Selamat belajar