Berkenalan dengan Himpunan Kosong, Himpunan Semesta, dan Himpunan Bagian

HIMPUNAN KOSONG

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen/anggota, atau himpunan yang kardinalitasnya sama dengan nol. Himpunan kosong biasa dilambangkan sebagai berikut:

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {} \right\}}&{atau}&\emptyset \end{array}$

Contoh:

1. A adalah himpunan gajah yang bersayap.

Karena tidak ada gajah yang bersayap maka A himpunan kosong, atau ditulis

$\begin{array}{*{20}{c}} {A = \emptyset }&{atau}&{A = \left\{ {} \right\}} \end{array}$

2. B adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4.

Karena tidak ada bilangan asli antara 3 dan 4 maka B himpunan kosong, atau ditulis

$\begin{array}{*{20}{c}} {B = \emptyset }&{atau}&{B = \left\{ {} \right\}} \end{array}$

3. C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 0.

Karena tidak ada bilangan cacah yang kurang dari 0, maka C adalah himpunan kosong, atau ditulis

$\begin{array}{*{20}{c}} {C = \emptyset }&{atau}&{C = \left\{ {} \right\}} \end{array}$

4. D adalah himpunan nama Kecamatan di Kab Batang yang diawali dengan huruf A.

Karena tidak ada nama kecamatan yang diawali dengan huruf A maka D adalah himpunan kosong, atau ditulis

$\begin{array}{*{20}{c}} {D = \emptyset }&{atau}&{D = \left\{ {} \right\}} \end{array}$

HIMPUNAN SEMESTA (S)

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasa dilambangkan dengan S.

Contoh 1

A = {ayam, angsa}

Contoh himpunan semesta dari A adalah

S = {ayam, angsa, bebek}

S = {hewan berkaki dua}

S = {hewan berbulu}

S = {makhluk hidup}

Contoh yang bukan himpunan semesta dari A adalah

S = {ayam, bebek} bukan karena angsa tidak masuk anggota S.

S = {hewan berkaki 4} bukan karena ayam dan angsa tidak masuk anggota S.

S = {hewan menyusui} bukan karena ayam dan angsa bukan hewan menyusui.

Contoh 2

B = {2, 3, 4}

Contoh himpunan semesta dari B adalah

S = {2, 3, 4}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

S = {bilangan cacah}

S = {bilangan asli}

Contoh yang bukan himpunan semesta dari B adalah

S = {2, 3} bukan karena 4 tidak masuk anggota S.

S = {bilangan prima} bukan karena 4 tidak masuk anggota S.

S = {bilangan bulat negatif} bukan karena 2, 3, dan 4 tidak masuk anggota S.

HIMPUNAN BAGIAN

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika seluruh anggota himpunan A adalah anggota himpunan B.Jika A himpunan bagian B dinotasikan sebagai berikut:

$A \subset B$

Jika A bukan himpunan bagian B dinotasikan sebagai berikut:

$A \not\subset B$

Untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan himpunan bagian, saya berikan beberapa contoh berikut:

Contoh 1 :

Diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut:

A = {sapi, kuda, kambing, onta}

B = {sapi, kambing}

C = {kuda, kambing, kerbau}

Pembahasan:

1. Jika kita perhatikan antara himpunan A dan himpunan B ternyata semua anggota/elemen himpunan B termasuk anggota dari himpunan A juga. Sehingga himpunan B disebut himpunan bagian dari A, atau bisa ditulis

$B \subset A$

2. Jika kira perhatikan antara himpunan A dan C ternyata tidak semua anggota C adalah anggota A. Sehingga kesimpulannya C bukan merupakan himpunan bagian A, atau bisa ditulis

$C \not\subset A$

Contoh 2

Diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut:

P = {2, 3, 5, 7, 11}

Q = {5, 7}

R = {5, 7, 9, 11}

Pembahasan:

1. Q adalah himpunan bagian dari P karena semua anggota Q ada di P, atau ditulis

$Q \subset P$

2. R bukan himpunan bagian dari P karena ada anggota himpunan R yaitu 9 yang bukan anggota P, atau ditulis

$R \not\subset P$

MENENTUKAN HIMPUNAN BAGIAN DARI SUATU HIMPUNAN

Setiap himpunan pasti memiliki himpunan bagian sekalipun itu adalah himpunan kosong. Yang perlu kita ketahui sebelumnya adalah bahwa himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.

Contoh 1

Tentukan seluruh himpunan bagian dari A = {1, 2}

Jawab:

A = {1, 2} sehingga n(A) = 2. Himpunan bagian A nantinya maksimal adalah himpunan dengan 2 anggota.

Himpunan Bagian A adalah

1. Yang memiliki 0 anggota = {}

2. Yang memiliki 1 anggota = {1}, {2}

3. Yang memiliki 2 anggota = {1, 2}

Jadi himpunan bagian dari A ada 4 yaitu {}, {1},{2}, {1, 2}.

Contoh 2

Tentukan seluruh himpunan bagian dari B = {x, y, z}

Jawab:

B = {x, y, z} sehingga n(B) = 3. Himpunan bagian B nantinya maksimal adalah himpunan dengan 3 anggota.

Himpunan Bagian B adalah

1. Yang memiliki 0 anggota = {}

2. Yang memiliki 1 anggota = {x}, {y}, {z}

3. Yang memiliki 2 anggota = {x, y}, {y, z}, {x, z}

4. Yang memiliki 3 anggota = {x, y, z}

Jadi himpunan bagian dari B ada 8 yaitu {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}

RUMUS HIMPUNAN BAGIAN

Jika terdapat himpunan A dengan jumlah anggota = a atau n(A) = a, maka jumlah himpunan bagian dari A dirumuskan sebagai berikut:

$\begin{array}{*{20}{c}} {Banyak}&{Himpunan}&{bagian} \end{array} = {2^a}$

Demikian materi tentang himpunan kosong, himpunan semesta, dan himpunan bagian yang bisa saya jelaskan. Jika ada pertanyaan atau masalah bisa ditanyakan pada bagian komentar.

Terima kasih