Komposisi Transformasi

Pengertian Komposisi Transformasi

Sudah kita ketahui bahwa terdapat empat jenis transformasi yaitu:

1. Translasi
2. Refleksi
3. Rotasi
4. Dilatasi

Jenis-jenis transformasi tersebut ternyata juga dapat digabungkan antara satu jenis transformasi dengan transformasi lainnya. Misal menggabungkan antara translasi dengan refleksi, atau rotasi dengan dilatasi. Gabungan dari dua atau lebih transformasi itu yang kita sebut dengan komposisi transformasi.

Penyelesaiam komposisi transformasi dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu pemetaan dan matriks. Pada kesempatan kali ini saya hanya akan menjelaskan penyelesaiaan dengan cara pemetaan sedangkan dengan cara matriks akan dijelaskan pada artikel berikutnya. Penyelesaian komposisi transformasi dengan pemetaan dilakukan langsung secara bertahap dan dan berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikannya. Misalkan titik $A$ ditransformasikan oleh transformasi ${T_1}$ kemudian dilanjutkan ${T_2}$, bayangannya dapat diperoleh dengan cara mencari bayangan $A$ terhadap ${T_1}$ terlebih dahulu (misal $A'$) dilanjutkan mencari bayangan $A'$ terhadap ${T_2}$ (misal $A''$).

Dalam bentuk notasi pemetaan, bayangan dari $A$ dapat ditulis sebagai berikut:

\[A\xrightarrow{{{T_1}}}A'\xrightarrow{{{T_2}}}A''\]

Contoh 1

Tentukan bayangan dari titik $P\left( {2,3} \right)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=x$ kemudian dilanjutkan rotasi ${90^o}$ terhadap titik pangkal!

Jawab:

Dari soal tersebut terdapat dua transformasi yaitu refleksi dan rotasi.

1. Refleksi terhadap garis $y=x$

$P\left( {x,y} \right)\xrightarrow{{\operatorname{Re} fleksi\left( {y = x} \right)}}P'\left( {y,x} \right)$

$P\left( {2,3} \right)\xrightarrow{{\operatorname{Re} fleksi\left( {y = x} \right)}}P'\left( {3,2} \right)$

2. Rotasi ${90^o}$ terhadap titik pangkal $O\left( {0,0} \right)$

$P'\left( {x,y} \right)\xrightarrow{{\operatorname{R} \left[ {O{{,90}^o}} \right]}}P''\left( { - y,x} \right)$

$P'\left( {3,2} \right)\xrightarrow{{\operatorname{R} \left[ {O{{,90}^o}} \right]}}P''\left( { - 2,3} \right)$

Jadi bayangan dari titik $P\left( {2,3} \right)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=x$ kemudian dilanjutkan rotasi ${90^o}$ terhadap titik pangkal adalah $P''\left( { - 2,3} \right)$.

Contoh 2

Diketahui segitiga samakaki $ABC$ dengan $A\left( {1,0} \right)$, $B\left( {5,0} \right)$, dan $C\left( {3,4} \right)$. Tentukan bayangan segitiga tersebut jika direfleksikan terhadap garis $y=x$ kemudian dilanjutkan rotasi ${90^o}$ terhadap titik pangkal!

Jawab:

Dari soal tersebut terdapat dua transformasi yaitu refleksi dan rotasi.

1. Refleksi terhadap garis $y=x$, bayangan dari masing-masing titik adalah sebagai berikut

$A\left( {x,y} \right)\xrightarrow{{\operatorname{Re} fleksi\left( {y = x} \right)}}A'\left( {y,x} \right)$

$A\left( {1,0} \right)\xrightarrow{{\operatorname{Re} fleksi\left( {y = x} \right)}}A'\left( {0,1} \right)$

$B\left( {5,0} \right)\xrightarrow{{\operatorname{Re} fleksi\left( {y = x} \right)}}B'\left( {0,5} \right)$

$C\left( {3,4} \right)\xrightarrow{{\operatorname{Re} fleksi\left( {y = x} \right)}}C'\left( {4,3} \right)$

2. Rotasi ${90^o}$ terhadap titik pangkal $O\left( {0,0} \right)$, bayangan dari masing-masing titik adalah sebagai berikut

$A'\left( {x,y} \right)\xrightarrow{{\operatorname{R} \left[ {O{{,90}^o}} \right]}}A''\left( { - y,x} \right)$

$A'\left( {0,1} \right)\xrightarrow{{\operatorname{R} \left[ {O{{,90}^o}} \right]}}A''\left( { - 1,0} \right)$

$B'\left( {0,5} \right)\xrightarrow{{\operatorname{R} \left[ {O{{,90}^o}} \right]}}B''\left( { - 5,0} \right)$

$A'\left( {4,3} \right)\xrightarrow{{\operatorname{R} \left[ {O{{,90}^o}} \right]}}A''\left( { - 3,4} \right)$

Jadi bayangan dari segitiga samakaki $ABC$ dengan $A\left( {1,0} \right)$, $B\left( {5,0} \right)$, dan $C\left( {3,4} \right)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=x$ kemudian dilanjutkan rotasi ${90^o}$ terhadap titik pangkal adalah segitiga samakaki $A''B''C''$ dengan $A''\left( {-1,0} \right)$, $B''\left( {-5,0} \right)$, dan $C''\left( {-3,4} \right)$.

Untuk lebih jelasnya bisa lihat komposisi transformasi pada bidang kartesius berikut:

Keterangan Gambar

1. Segitiga hitam adalah segitiga mula-mula.
2. Segitiga biru adalah bayangan segitiga hitam oleh refleksi terhadap garis $y=x$.
3. Segitiga merah adalah bayangan segitiga biru oleh rotasi $\left[ {O{{,90}^o}} \right]$.

Demikian, semoga bermanfaat