Menyelesaikan Permasalahan yang Terkait Himpunan

Jika terdapat Himpunan Semesta (S), kemudian terdapat dua himpunan A dan B terdapat pada S, berlaku:

$n\left( S \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) + n{\left( {A \cup B} \right)^C}$

Untuk memahami penggunaan rumus tersebut terkait konsep Himpunan dalam penyelesaian masalah, perhatikan contoh berikut:

CONTOH 1:

Dari survey yang dilakukan terhadap siswa kelas VII E tentang makanan kesukaan, diperoleh data terdapat 18 anak yang suka makan bakso dan 15 anak suka makan soto. Terdapat 8 anak yang suka kedua makanan tersebut dan 5 anak tidak menyukai kedua makanan tersebut. Dari data tersebut tentukan:

1. Gambarkan diagram Venn dari permasalahan tersebut!
2. Berapa jumlah siswa kelas VII E seluruhnya?
3. Ada berapa siswa yang hanya menyukai makanan bakso?
4. Ada berapa siswa yang hanya menyukai makanan soto?

Jawab:

1. Misalkan:

S = himpunan semesta

A = himpunan siswa kelas VII E yang menyukai bakso 

B = himpunan siswa kelas VII E yang menyukai soto 

$\left( {A \cap B} \right)$ = himpunan siswa kelas VII E yang menyukai bakso dan soto

${\left( {A \cup B} \right)^C}$ = himpunan siswa kelas VII E yang tidak menyukai bakso maupun soto

maka:

$\begin{array}{l} n\left( A \right) = 18\\ n\left( B \right) = 15\\ n\left( {A \cap B} \right) = 8\\ n{\left( {A \cup B} \right)^C} = 5 \end{array}$

Jika digambarkan pada Diagram Venn hasilnya sebagai berikut:

2. Dengan menggunakan rumus di atas diperoleh:

$\begin{array}{l} n\left( S \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) + n{\left( {A \cup B} \right)^C}\\ \Leftrightarrow n\left( S \right) = 18 + 15 - 8 + 5\\ \Leftrightarrow n\left( S \right) = 30 \end{array}$

Jadi jumlah siswa Kelas VII E adalah 30 anak.

3. Banyak siswa yang hanya menyukai bakso = $n\left( A \right) - n\left( {A \cap B} \right)$

$n\left( A \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 18 - 8 = 10$

Jadi banyak siswa kelas VII E yang hanya menyukai bakso adalah 10 anak.

4. Banyak siswa yang hanya menyukai soto = $n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right)$

$n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 15 - 8 = 7$

Jadi banyak siswa kelas VII E yang hanya menyukai soto adalah 7 anak.

CONTOH 2:

Dari survey yang dilakukan terhadap 31 anak siswa kelas VII F tentang mata pelajaran favorit, diperoleh data terdapat 20 anak yang suka mapel Bahasa Indonesia dan 13 anak suka mapel Bahasa Inggris. Terdapat 3 anak tidak menyukai kedua mapel tersebut. Dari data tersebut tentukan:

1. Gambarkan diagram Venn dari permasalahan tersebut!
2. Berapa jumlah siswa kelas VII F yang menyukai kedua mapel sekaligus?
3. Ada berapa siswa yang hanya menyukai mapel Bahasa Indonesia?
4. Ada berapa siswa yang hanya menyukai mapel Bahasa Inggris?

Jawab:

1. Misalkan:

S = himpunan semesta

P = himpunan siswa kelas VII F yang menyukai mapel Bahasa Indonesia

Q = himpunan siswa kelas VII F yang menyukai mapel Bahasa Ingris 

$\left( {P \cap Q} \right)$ = himpunan siswa kelas VII F yang menyukai kedua mapel

${\left( {P \cup Q} \right)^C}$ = himpunan siswa kelas VII F yang tidak menyukai kedua mapel

maka:

$\begin{array}{l} n\left( S \right) = 31\\ n\left( P \right) = 20\\ n\left( Q \right) = 13\\ n\left( {P \cap Q} \right) = x\\ n{\left( {P \cup Q} \right)^C} = 3 \end{array}$

Jika digambarkan pada Diagram Venn hasilnya sebagai berikut:

2. Dengan menggunakan rumus di atas diperoleh:

$\begin{array}{l} n\left( S \right) = n\left( P \right) + n\left( Q \right) - n\left( {P \cap Q} \right) + n{\left( {P \cup Q} \right)^C}\\ \Leftrightarrow 31 = 20 + 13 - x + 3\\ \Leftrightarrow 31 = 36 - x\\ \Leftrightarrow x = 36 - 31\\ \Leftrightarrow x = 5 \end{array}$

Jadi jumlah siswa Kelas VII F yang menyukai kedua mapel adalah 5 anak.

3. Banyak siswa yang hanya menyukai mapel Bahasa Indonesia = $n\left( P \right) - n\left( {P \cap Q} \right)$

$n\left( P \right) - n\left( {P \cap Q} \right) = 15 - 5 = 10$

Jadi banyak siswa kelas VII F yang hanya menyukai mapel Bahasa Indonesia adalah 10 anak.

4. Banyak siswa yang hanya menyukai mapel Bahasa Inggris = $n\left( Q \right) - n\left( {P \cap Q} \right)$

$n\left( Q \right) - n\left( {P \cap Q} \right) = 13 - 5 = 8$

Jadi banyak siswa kelas VII F yang hanya menyukai mapel Bahasa Inggris adalah 8 anak.

Demikian semoga bermanfaat