Limit Fungsi Aljabar

Nilai limit fungsi $f\left( x \right)$ mendekati $a$ yang ditentukan dengan cara pengamatan grafik fungsi dan perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik, lebih bersifat intuitif, dan kurang efisien. Oleh karena itu, perhitungan limit fungsi aljabar biasanya dikerjakan dengan menggunakan perhitungan aljabar biasa.

Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$

Metode Substitusi Langsung

Untuk memahami cara menentukan limit fungsi aljabar yang berbentuk $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$ dengan metode substitusi langsung, perhatikan contoh berikut ini:

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right)$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {x + 1} $

Jawab

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) &= {1^2} + 2.1 - 1\\ &= 2 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 2$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {x + 1} &= \sqrt {3 + 1} \\ &= \sqrt 4 = 2 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {x + 1} = 2$.

Metode Pemfaktoran

Perhatikan limit fungsi yang dikerjakan dengan substitusi berikut:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \frac{{{1^2} - 1}}{{1 - 1}} = \frac{0}{0}$

Dari hasil diperoleh nilai $\frac{0}{0}$ yang disebut bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan. Oleh karena itu, diperlukan cara lain. Salah satunya dengan cara mencari faktor persekutuan yang sama antara pembilang dan penyebut. Setelah diperoleh faktor yang sama, selanjutnya bentuk fungsi tersebut disederhanakan. Jadi diperoleh:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\cancel{{\left( {x - 1} \right)}}\left( {x + 1} \right)}}{{\cancel{{\left( {x - 1} \right)}}}},\text{dengan }x \ne 1\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right)\\ &= 1 + 1\\ &= 2 \end{array}$

Secara umum, pengerjaan limit fungsi yang mempunyai bentuk tak tentu $\left( {\frac{0}{0}} \right)$ dapat dilakukan dengan menggunakan metode pemfaktoran.

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 16} }}$
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2 + x} - \sqrt {2 - x} }}{x}$

Jawab

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\cancel{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}}}}{{\cancel{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}}}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \left( {\sqrt x + 3} \right)\\ &= \sqrt 9 + 3\\ &= 3 + 3\\ &= 6 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}} = 6$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 16} }} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 16} }} \times \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{{\sqrt {{x^2} - 16} }}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 16} }}{{{x^2} - 16}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\cancel{{\left( {x - 4} \right)}}\sqrt {{x^2} - 16} }}{{\cancel{{\left( {x - 4} \right)}}\left( {x + 4} \right)}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{{\left( {x + 4} \right)}}\\ &= \frac{{\sqrt {{4^2} - 16} }}{{\left( {4 + 4} \right)}}\\ &= \frac{0}{8}\\ &= 0 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 16} }} = 0$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2 + x} - \sqrt {2 - x} }}{x} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2 + x} - \sqrt {2 - x} }}{x} \times \frac{{\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} }}{{\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} }}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {\sqrt {2 + x} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {2 - x} } \right)}^2}}}{{x\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right)}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 + x} \right) - \left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right)}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cancel{x}}}{{\cancel{x}\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right)}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right)}}\\ &= \frac{2}{{\sqrt {2 + 0} + \sqrt {2 - 0} }}\\ &= \frac{2}{{\sqrt 2 + \sqrt 2 }}\\ &= \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt 2 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2 + x} - \sqrt {2 - x} }}{x} = \frac{1}{2}\sqrt 2 $.

Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)$

Limit $x$ Mendekati Tak Hingga

Misalkan fungsi $f$ ditentukan oleh $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ dengan daerah asal ${D_f} = \left\{ {x|x \in \Re ,x \ne 0} \right\}$. Nilai $f\left( x \right)$ untuk nilai $x$ yang semakin besar dapat dilihat pada tabel berikut:

$x$	$1$	$2$	$3$	$10$	$100$	$1.000$	$1.000.000$	$ \Rightarrow \infty $
$f\left( x \right) = \frac{1}{x}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{1.000}$	$\frac{1}{1.000.000}$	$ \Rightarrow 0$

Berdasarkan tabel di atas terlihat bahwa jika nilai $x$ semakin besar, maka nilai fungsi $f\left( x \right)$ semakin kecil sehingga jika $x$ sangat besar sekali $\left( {x \to \infty } \right)$, maka nilai fungsi $f\left( x \right)$ mendekati nol. Pernyataan ini dapat ditulis:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0\]

Dengan penalaran yang sama dapat ditunjukkan

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\]

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{{x^2}}}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x}$

Jawab

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0$

Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika ${x \to \infty }$

Pada pembahasan ini akan dijelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar (bentuk tertentu) jika ${x \to \infty }$ dengan membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan faktor lawan.

1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut

Limit fungsi yang berbentuk $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian pembilang ${f\left( x \right)}$ dan bagian penyebut ${g\left( x \right)}$ dengan ${x^n}$, dengan $n$ adalah pangkat tertinggi dari ${f\left( x \right)}$ atau ${g\left( x \right)}$. Berdasarkan derajat dan koefisien pangkat tertinggi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ dapat ditetapkan sebagai berikut:

1. Jika derajat ${f\left( x \right)}$ = derajat ${g\left( x \right)}$ maka
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\text{koefisien pangkat tertinggi }f\left( x \right)}}{{\text{koefisien pangkat tertinggi }g\left( x \right)}}$
2. • Jika derajat ${f\left( x \right)}$ $>$ derajat ${g\left( x \right)}$ dan koefisien pangkat tertinggi ${f\left( x \right)}$ bernilai positif, maka $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \infty $.
   • Jika derajat ${f\left( x \right)}$ $>$ derajat ${g\left( x \right)}$ dan koefisien pangkat tertinggi ${f\left( x \right)}$ bernilai negatif, maka $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = -\infty $.
3. Jika derajat ${f\left( x \right)}$ $<$ derajat ${g\left( x \right)}$ maka $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0$.

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^3} + 2{x^2} - 1}}{{{x^3} - 3{x^2}}}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^4} - 5{x^2} + 3}}{{{x^3} + 6{x^2}}}$
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 4{x^5} + 2{x^3}}}{{2{x^4} - {x^2}}}$
4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^3} - {x^2} + 2}}{{{x^4} - 3{x^2} + 4}}$

Jawab

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^3} + 2{x^2} - 1}}{{{x^3} - 3{x^2}}} = \frac{4}{1} = 4$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^4} - 5{x^2} + 3}}{{{x^3} + 6{x^2}}} = \infty $
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 4{x^5} + 2{x^3}}}{{2{x^4} - {x^2}}} = - \infty $
4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^3} - {x^2} + 2}}{{{x^4} - 3{x^2} + 4}} = 0$
2. Mengalikan dengan Faktor Lawan

Limit fungsi yang berbentuk $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {f\left( x \right)} - \sqrt {g\left( x \right)} } \right\}$ dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu $\frac{{\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} }}{{\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} }}$

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} } \right\}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} - \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} } \right\}$

Jawab

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} } \right\} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} } \right\} \times \frac{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} }}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} }}} \right\}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{1}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} }}} \right\}\\ &= 0 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} } \right\} = 0$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} - \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} } \right\} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} - \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} } \right\} \times \frac{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} + \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} }}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} + \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} }}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{\left( {3{x^2} - 4x + 8} \right) - \left( {3{x^2} - 2x + 8} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} + \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} }}} \right\}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} + \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} }}} \right\}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{\frac{{ - 2x}}{x}}}{{\frac{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} }}{x} + \frac{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 8} }}{x}}}} \right\}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{ - 2}}{{\frac{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} }}{{\sqrt {{x^2}} }} + \frac{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 8} }}{{\sqrt {{x^2}} }}}}} \right\}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{ - 2}}{{\sqrt {\frac{{3{x^2} - 4x + 8}}{{{x^2}}}} + \sqrt {\frac{{3{x^2} - 2x + 8}}{{{x^2}}}} }}} \right\}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\frac{{ - 2}}{{\sqrt {3 - \frac{4}{x} + \frac{8}{{{x^2}}}} + \sqrt {3 - \frac{2}{x} + \frac{8}{{{x^2}}}} }}} \right\}\\ &= \frac{{ - 2}}{{\sqrt {3 - \frac{4}{\infty } + \frac{8}{{{\infty ^2}}}} + \sqrt {3 - \frac{2}{\infty } + \frac{8}{{{\infty ^2}}}} }}\\ &= \frac{{ - 2}}{{\sqrt {3 - 0 + 0} + \sqrt {3 - 0 + 0} }}\\ &= \frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + \sqrt 3 }}\\ &= \frac{{ - 2}}{{2\sqrt 3 }}\\ &= - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ &= - \frac{1}{3}\sqrt 3 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\sqrt {3{x^2} - 4x + 8} - \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} } \right\} = - \frac{1}{3}\sqrt 3 $.

Demikian pembahasan mengenai Limit Fungsi Aljabar. Semoga bermanfaat.