Operasi Hitung pada Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks

Penjumlahan Dua Matriks

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen ${a_{ij}}$ dan ${b_{ij}}$. Jika Matriks $C$ adalah jumlah matriks $A$ dengan matriks $B$ atau $C=A+B$, maka matriks $C$ juga berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh ${c_{ij}} = {a_{ij}} + {b_{ij}}$ (untuk semua $i$ dan $j$).

Contoh

1. Diketahui matriks-matriks: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 5&7 \end{array}} \right)$ dan $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right)$. Tentukan jumlah matriks $A$ dan matriks $B$
2. Diketahui matriks-matriks: $O = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$ dan $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right)$. Tunjukkan bahwa:
1. $O + A = A$
2. $A + O = A$

Jawab

1. Jumlah matriks $A$ dan matriks $B$ ditentukan oleh:
$\begin{array}{l} A + B &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 5&7 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 0}&{3 + \left( { - 2} \right)}\\ {5 + 3}&{7 + 4} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 8&{11} \end{array}} \right) \end{array}$

Jadi, jumlah matriks $A$ dan matriks $B$ adalah $A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 8&{11} \end{array}} \right)$.

1. $O + A = A$
$\begin{array}{l} O + A &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 0}&{0 + \left( { - 2} \right)}\\ {0 + 3}&{0 + 4} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right) = A \end{array}$

Jadi, $O + A = A$.

2. $A + O = A$
$\begin{array}{l} A + O &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 0}&{ - 2 + 0}\\ {3 + 0}&{4 + 0} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 2}\\ 3&4 \end{array}} \right) = A \end{array}$

Jadi, $A + O = A$.

Meskipun bukan merupakan bukti, contoh di atas menunjukkan berlakunya sifat penjumlahan matriks sebagai berikut

\[A + O = O + A = A\]

Matriks $O$ yang berciri seperti itu dinamakan matriks nol, yaitu suatu matriks yang semua elemennya adalah nol.

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Misalkan $A$, $B$, $C$ dan $O$ adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka pada penjumlahan matriks bersifat.

1. Komutatif: $A+B=B+A$
2. Asosiatif: $\left( {A + B} \right) + C = A + \left( {B + C} \right)$.
3. Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks $O$ yang bersifat: $A + O = O + A = A$.
4. Semua matriks $A$ mempunyai matriks lawan atau $-A$ yang bersifat: $A + \left( { - A} \right) = O$.

Pengurangan Dua Matriks

Definisi 1

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks yang berordo $m \times n$. Pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$ didefinisikan sebagai jumlah antara matriks $A$ dengan lawan dari matriks $B$, ditulis \[A - B = A + \left( { - B} \right)\].

Karena pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$ atau $A-B$ ditentukan sebagai jumlah matriks $A$ dengan lawan matriks $B$, maka syarat agar $A-B$ terdefinisi adalah matriks $A$ dan matriks $B$ harus mempunyai ordo yang sama.

Definisi 2

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks yang berordo $m \times n$ dan masing-masing mempunyai elemen-elemen ${a_{ij}}$ dan ${b_{ij}}$. Jika matriks $C$ adalah hasil pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$ atau $C=A-B$. maka matriks $C$berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh \[{c_{ij}} = {a_{ij}} - {b_{ij}}\], untuk semua $i$ dan $j$.

Pengurangan dua matriks seringkali dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks yang berbentuk $X+A=B$, dengan $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks yang ketahui, sedangkan $X$ adalah matriks yang ditanyakan. Dari hubungan $X+A=B$, maka \[X = B - A\] Jadi, matriks $X$ merupakan pengurangan matriks $B$ dengan matriks $A$.

Contoh

Diketahui matriks-matriks: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 1&3 \end{array}} \right)$ dan $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5\\ { - 1}&{ - 3} \end{array}} \right)$. Jika $X$ adalah matriks berordo $2 \times 2$ dan berlaku hubungan $X+A=B$, tentukan matriks $X$

Jawab

Karena $X+A=B$, maka $X=B-A$

$\begin{array}{l} X &= B - A\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5\\ { - 1}&{ - 3} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 1&3 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - 2}&{5 - 5}\\ { - 1 - 1}&{ - 3 - 3} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&0\\ { - 2}&{ - 6} \end{array}} \right) \end{array}$

Jadi, matriks $X$ yang memenuhi hubungan $X+A=B$ adalah $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&0\\ { - 2}&{ - 6} \end{array}} \right)$.

Perkalian Suatu Bilangan Real terhadap Matriks

Definisi

Misalkan $A$ adalah suatu matriks yang berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen ${a_{ij}}$ dan $k$ adalah suatu bilangan real. Jika matriks $C$ adalah hasil perkalian bilangan real $k$ terhadap matriks $A$, ditulis $C=kA$, maka matrik $C$ berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen matriks $C$ ditentukan oleh \[{c_{ij}} = k{a_{ij}}\] untuk semua $i$ dan $j$.

Contoh

1. Jika $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)$, maka $2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 \times 2}\\ {2 \times 3} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 6 \end{array}} \right)$.
2. Jika $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right)$, maka
$\begin{array}{l} \frac{1}{2}B &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2} \times 3}&{\frac{1}{2} \times 2}\\ {\frac{1}{2} \times 1}&{\frac{1}{2} \times \left( { - 4} \right)} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{2}}&1\\ {\frac{1}{2}}&{ - 2} \end{array}} \right) \end{array}$

Sifat-Sifat

Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan-bilangan real, $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks berordo sama, maka perkalian bilangan real dengan matriks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. $\left( {p + q} \right)A = pA + qA$
2. $p\left( {A + B} \right) = pA + pB$
3. $p\left( {qA} \right) = \left( {pq} \right)A$
4. $1A = A$
5. $\left( { - 1} \right)A = - A$

Perkalian Dua Matriks

Hasil perkalian matriks $A$ berordo $m \times n$ terhadap matriks $B$ berordo $n \times p$ adalah suatu matriks baru yang berordo $m \times \boxed{n \leftrightarrow n} \times p$ atau $m \times p$. Elemen-elemen dari matriks hasil perkalian tersebut dapat ditentukan melalui proses pengerjaan baris pada kolom, sebagaimana dijelaskan dalam definisi berikut ini.

Definisi

Misalkan $A$ adalah matriks berordo $m \times n$ dan $B$ matriks berordo $n \times p$.

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right)$ $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}& \cdots &{{b_{1p}}}\\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}& \cdots &{{b_{2p}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{b_{n1}}}&{{b_{n2}}}& \cdots &{{b_{np}}} \end{array}} \right)$

Jika $C$ adalah matriks hasil perkalian matriks $A$ terhadap matriks $B$ atau $C=AB$, maka

• Matriks $C$ berordo $m \times \boxed{n \leftrightarrow n} \times p$ atau $m \times p$
• Elemen-elemen matriks $C$ pada baris ke-i dan kolom ke-j (ditulis ${c_{ij}}$) diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-i dari matriks $A$ terhadap elemen-elemen kolom ke-j dari matriks $B$, kemudian masing-masing dijumlahkan. Pernyataan ini ditulis sebagai:
\[{c_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}}} \]

Perkalian matriks $A$ terhadap matriks $B$ menghasilkan $AB$, matriks $A$ disebut pengali kiri matriks $B$, atau matriks $B$ disebut pengali kanan matriks $A$. Oleh karena itu, perkalian matriks $A$ terhadap matriks $B$ yang menghasilkan $AB$ dapat dinyatakan sebagai:

• Matriks $A$ dikalikan dari kanan dengan matriks $B$, atau
• Matriks $B$ dikalikan dari kiri dengan matriks A.

Contoh

Diketahui matriks: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right)$ dan $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&6\\ 7&8 \end{array}} \right)$

1. Tentukan $AB$ dan $BA$
2. Apakah $AB=BA$?

Jawab

1. Matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B$ berordo $2 \times 2$, hasil perkaliannya berordo $2 \times 2$
$\begin{array}{l} AB &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&6\\ 7&8 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1.5 + 2.7}&{1.6 + 2.8}\\ {3.5 + 4.7}&{3.6 + 4.8} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5 + 14}&{6 + 16}\\ {15 + 28}&{18 + 32} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {19}&{22}\\ {43}&{50} \end{array}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} BA &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&6\\ 7&8 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5.1 + 6.3}&{5.2 + 6.4}\\ {7.1 + 8.3}&{7.2 + 8.4} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5 + 18}&{10 + 24}\\ {7 + 24}&{14 + 32} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {23}&{34}\\ {31}&{46} \end{array}} \right) \end{array}$
2. Dari hasil perhitungan di atas diperoleh $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {19}&{22}\\ {43}&{50} \end{array}} \right)$ dan $BA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {23}&{34}\\ {31}&{46} \end{array}} \right)$. Hubungan $AB \ne BA$ menunjukkan bahwa perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif.

Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks

1. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif.
$AB \ne BA$ (kecuali pada matriks-matriks khusus)
2. Perkalian matriks bersifat asosiatif
$\left( {AB} \right)C = A\left( {BC} \right)$
3. Perkalian matriks bersifat distributif

Distributif kiri: $A\left( {B + C} \right) = AB + AC$

Distributif kanan: $\left( {B + C} \right)A = BA + CA$

4. Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks identitas yaitu matriks satuan $I$, yang bersifat:
$AI = IA = A$
5. Jika $AB=O$, belum tentu $A=O$ atau $B=O$.
6. Jika $AB=AC$, belum tentu $B=C$.
7. Jika $p$ dan $q$ adalah bilangan-bilangan real, serta $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks maka berlaku hubungan
$\left( {pA} \right)\left( {qB} \right) = \left( {pq} \right)\left( {AB} \right)$
8. Jika ${A^t}$ dan ${B^t}$ berturut-turut adalah transpos dari matriks $A$ dan matriks $B$, maka berlaku hubungan
${\left( {AB} \right)^t} = {B^t}{A^t}$

Perpangkatan pada Matriks Persegi

Definisi

Misalkan $A$ adalah matriks persegi, maka

$\begin{array}{l} {A^2} = AA\\ {A^3} = {A^2}A = A{A^2}\\ {A^4} = {A^3}A = A{A^3}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \boxed{{A^n} = {A^{n - 1}}A = A{A^{n - 1}}} \end{array}$

Contoh

Diketahui matriks $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2&1 \end{array}} \right)$

1. Tentukanlah ${A^2}$, ${A^3}$, dan ${A^4}$
2. Tentukanlah ${A^3} - 3{A^2} + 2A - 4I$, dengan $I$ matriks satuan berordo 2

Jawab

$\begin{array}{l} {A^2} &= AA\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2&1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 4&1 \end{array}} \right)\\ {A^3} &= A{A^2}\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 4&1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 6&1 \end{array}} \right)\\ {A^4} &= A{A^3}\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 6&1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 8&1 \end{array}} \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} {A^3} - 3{A^2} + 2A - 4I &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 6&1 \end{array}} \right) - 3\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 4&1 \end{array}} \right) + 2\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2&1 \end{array}} \right) - 4\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 6&1 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ {12}&3 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 4&2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&0\\ 0&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 3 + 2 - 4}&{0 - 0 + 0 - 0}\\ {6 - 3 + 2 - 4}&{1 - 3 + 2 - 4} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&0\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right) \end{array}$

Invers Matriks

Dua Matriks Saling Invers

Definisi

Misalkan $A$ dan $B$ masing-masing adalah matriks persegi berordo 2 dan berlaku hubungan \[AB = BA = I\] maka $A$ adalah invers $B$ atau $B$ adalah invers dari $A$ atau $A$ dan $B$ merupakan dua matriks yang saling invers.

Ungkapan matriks $A$ adalah invers $B$ ditulis $A = {B^{ - 1}}$ dan matriks $B$ disebut invers dari matriks $A$ ditulis $B = {A^{ - 1}}$. Notasi $A^{ - 1}$ tidak diartikan sebagai $\frac{1}{A}$, sebab dalam aljabar matriks tidak didefinisikan adanya operasi pembagian.

Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Invers dari suatu matriks persegi berkaitan dengan determinan dari matriks persegi. Oleh karena itu, perlu dipahami terlebih dahulu pengertian determinan suatu matriks. Setiap matriks persegi mempunyai padanan dengan suatu determinan yang elemen-elemennya tepat sama dengan elemen-elemen matriks persegi itu. Determinan dari suatu matriks $A$ dilambangkan sebagai $\det A$ atau $\left| A \right|$.

Determinan dari suatu matriks persegi berordo 2 dapat ditentukan melalui definisi berikut ini

Definisi

Misalkan matriks $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)$, yang dimaksud dengan determinan dari matriks $A$ adalah $\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right|$. Nilai dari determinan matriks $A$ ditentukan oleh

\[\det A = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = \left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right)\]

Berdasarkan definisi di atas tampak bahwa determinan suatu matriks adalah suatu fungsi yang daerah asalnya adalah elemen-elemen dari suatu matriks persegi berordo 2 dan daerah hasilnya adalah himpunan semua bilangan real.

Contoh

1. Jika $P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&2 \end{array}} \right)$ maka $\det P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&2 \end{array}} \right| = \left( {2.2 - 3.1} \right) = 1$.
2. Jika $Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3\\ 1&1 \end{array}} \right)$ maka $\det Q = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3\\ 1&1 \end{array}} \right| = \left( {4.1 - 3.1} \right) = 1$.
3. Jika $R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 7&2 \end{array}} \right)$ maka $\det R = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 7&2 \end{array}} \right| = \left( {4.2 - 1.7} \right) = 1$.

Menentukan Invers Matriks Persegi Berordo 2

Rumus

Jika matriks $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right)$ dengan $\det A = \left( {ad - bc} \right)$ maka invers dari matriks $A$ ditentukan oleh \[{A^{ - 1}} = \frac{1}{{ad - bc}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ - b}\\ { - c}&a \end{array}} \right)\] dengan syarat bahwa $\det A = \left( {ad - bc} \right) \ne 0$.

Contoh

Jika ada, tentukan invers dari matriks-matriks berikut

1. $Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3\\ 1&1 \end{array}} \right)$
2. $R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 7&2 \end{array}} \right)$

Jawab

1. $\det Q = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3\\ 1&1 \end{array}} \right| = \left( {4.1 - 3.1} \right) = 1$

Karena $\det Q \ne 0$, maka matriks $Q$ mempunyai invers. Invers dari $Q$ adalah

$\begin{array}{l} {Q^{ - 1}} &= \frac{1}{1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 1}&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 1}&4 \end{array}} \right) \end{array}$
2. $\det R = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 6&2 \end{array}} \right| = \left( {4.2 - 1.6} \right) = 2$

Karena $\det R \ne 0$, maka matriks $R$ mempunyai invers. Invers dari $R$ adalah

$\begin{array}{l} {R^{ - 1}} &= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ { - 6}&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \frac{1}{2}}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right) \end{array}$

Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks Berordo 2

Misalkan matriks $A$ dan matriks $B$ maerupakan matriks-matriks persegi berordo 2 yang tak singuler, ${A^{ - 1}}$ dan ${B^{ - 1}}$ berturut-turut adalah invers matriks $A$ dan matriks $B$, dan ${A^t}$ adalah transpos matriks $A$. Maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. ${\left( {AB} \right)^{ - 1}} = {B^{ - 1}}{A^{ - 1}}$
2. ${\left( {BA} \right)^{ - 1}} = {A^{ - 1}}{B^{ - 1}}$
3. ${\left( {{A^t}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{A^{ - 1}}} \right)^t}$

Contoh

Diketahui matriks-matriks: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&5 \end{array}} \right)$, $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right)$, dan $C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&{ - 5}\\ 5&4 \end{array}} \right)$.

1. Tentukanlah $ABC$ dan ${\left( {ABC} \right)^{ - 1}}$
2. Tentukanlah ${A^{ - 1}}$, ${B^{ - 1}}$, ${C^{ - 1}}$, ${A^{ - 1}}{B^{ - 1}}{C^{ - 1}}$, dan ${C^{ - 1}}{B^{ - 1}}{A^{ - 1}}$
3. Buatlah kesimpulan dari hasil perhitungan $a.$ dan $b.$

Jawab

$\begin{array}{l} ABC &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&5 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&{ - 5}\\ 5&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{16}\\ {18}&{26} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&{ - 5}\\ 5&4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 66 + 80}&{ - 55 + 64}\\ { - 108 + 130}&{ - 90 + 104} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&9\\ {22}&{14} \end{array}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \det ABC &= 14 \times 14 - 9 \times 22\\ &= 196 - 198\\ &= - 2\\ {\left( {ABC} \right)^{ - 1}} &= \frac{1}{{ - 2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&{ - 9}\\ { - 22}&{14} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{14}}{{ - 2}}}&{\frac{{ - 9}}{{ - 2}}}\\ {\frac{{ - 22}}{{ - 2}}}&{\frac{{14}}{{ - 2}}} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{\frac{9}{2}}\\ {11}&{ - 7} \end{array}} \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} \det A &= 2 \times 5 - 3 \times 3\\ &= 10 - 9\\ &= 1\\ {A^{ - 1}} &= \frac{1}{1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right)\\ \det B &= 1 \times 4 - 2 \times 3\\ &= 4 - 6\\ &= - 2\\ {B^{ - 1}} &= \frac{1}{{ - 2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 2}\\ { - 3}&1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1\\ {\frac{3}{2}}&{ - \frac{1}{2}} \end{array}} \right)\\ \det C &= \left( { - 6} \right) \times 4 - \left( { - 5} \right) \times 5\\ &= - 24 + 25\\ &= 1\\ {C^{ - 1}} &= \frac{1}{1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ { - 5}&{ - 6} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ { - 5}&{ - 6} \end{array}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} {A^{ - 1}}{B^{ - 1}}{C^{ - 1}} &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1\\ {\frac{3}{2}}&{ - \frac{1}{2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ { - 5}&{ - 6} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10 - \frac{9}{2}}&{5 + \frac{3}{2}}\\ {6 + 3}&{ - 3 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ { - 5}&{ - 6} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{29}}{2}}&{\frac{{13}}{2}}\\ 9&{ - 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ { - 5}&{ - 6} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 58 - \frac{{65}}{2}}&{ - \frac{{145}}{2} - 39}\\ {36 + 20}&{45 + 24} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{181}}{2}}&{ - \frac{{223}}{2}}\\ {56}&{69} \end{array}} \right)\\ {C^{ - 1}}{B^{ - 1}}{A^{ - 1}} &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ { - 5}&{ - 6} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1\\ {\frac{3}{2}}&{ - \frac{1}{2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8 + \frac{{15}}{2}}&{4 - \frac{5}{2}}\\ {10 - 9}&{ - 5 + 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{2}}&{\frac{3}{2}}\\ 1&{ - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}\\ { - 3}&2 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{5}{2} - \frac{9}{2}}&{\frac{3}{2} + 3}\\ {5 + 6}&{ - 3 - 4} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{\frac{9}{2}}\\ {11}&{ - 7} \end{array}} \right) \end{array}$
3. Dari soal $a.$ dan $b.$ diperoleh simpulan ${\left( {ABC} \right)^{ - 1}} = {C^{ - 1}}{B^{ - 1}}{A^{ - 1}}$.