Pengenalan Matriks

Definisi Matriks

Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

Agar berbatas, maka bagian pinggir dari kelompok bilangan itu dibubuhi dengan tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku). Nama dari suatu matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, ... dan seterusnya.

Beberapa pengertian dan Istilah dalam Matriks

Pengertian Baris, kolom, dan Elemen sebuah Matriks

Pengertian baris, kolom, dan elemen suatu matriks dapat diungkapkan sebagai berikut:

1. Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.
2. Kolom dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.
3. Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks tersebut.

Pengertian Ordo Matriks

Banyak baris dan banyak kolom dari suatu matriks menentukan ordo atau ukuran bagi matriks tersebut.

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 3}&0\\ {14}&7&{ - 2} \end{array}} \right)$

Perhatikan bahwa banyak baris matrik A adalah 2 dan banyak kolomnya adalah 3. Dalam hal demikian, matriks A dikatakan berordo atau berukuran $2 \times 3$ dan ditulis dengan menggunakan notasi: ${A_{2 \times 3}}$.

Bilangan $2 \times 3$ yang dituliskan agak ke bawah disebut sebagai subskrip atau indeks. Jika diamati lebih lanjut, banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh $2 \times 3 = 6$ yaitu merupakan hasil kali antara banyak baris dengan banyak kolom dari matriks A. Berdasarkan uraian di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

• Ordo atau Ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu.
• Bayak Elemen atau Banyak Unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom matriks tersebut.

Misalkan matriks A terdiri atas $m$ baris dan $n$ kolom, maka matriks A dikatakan berordo $m \times n$ dan ditulis sebagai ${A_{m \times n}}$. Banyak elemen matriks A adalah $\left( {m \times n} \right)$ buah dengan elemen-elemen matriks itu dilambangkan sebagai ${a_{ij}}$ ($i$ dari 1 sampai dengan $m$ dan $j$ dari 1 sampai $n$). Secara umum, matriks A ditulis dengan notasi sebagai berikut:

${A_{m \times n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right)$

Jenis Matriks

1. Matriks Baris

Misalkan suatu matriks berordo $m \times n$ dengan nilai $m=1$ sehingga diperoleh matriks yang berordo $1 \times n$. Matriks $1 \times n$ terdiri atas 1 baris dan memuat $n$ elemen. Matriks yang berciri seperti ini disebut matriks baris. Berikut ini beberapa contoh dari matriks baris.

• $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2 \end{array}} \right)$ adalah matriks baris yang terdiri atas 2 elemen.
• $Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&0&8 \end{array}} \right)$ adalah matriks baris yang terdiri atas 4 elemen.
2. Matriks Kolom atau Matriks Lajur

Misalkan suatu matriks berordo $m \times n$ dengan nilai $n=1$ sehingga diperoleh matriks yang berordo $m \times 1$. Matriks $m \times 1$ terdiri atas 1 kolom dan memuat $m$ elemen. Matriks yang berciri seperti ini disebut matriks kolom atau matriks lajur. Berikut ini beberapa contoh dari matriks kolom atau matriks lajur.

• $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 9} \end{array}} \right)$ adalah matriks kolom yang terdiri atas 2 elemen.
• $R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7\\ 0\\ { - 5} \end{array}} \right)$ adalah matriks kolom yang terdiri atas 4 elemen.
3. Matriks Persegi

Misalkan suatu matriks berordo $m \times n$ dengan nilai $m=n$, sehingga diperoleh matriks berordo $n \times n$ dan untuk selanjutnya disebut matriks berordo $n$ saja. Pada matriks berordo $n$, banyak baris = banyak kolom. Matriks yang berciri demikian disebut sebagai matriks persegi berordo $n$. Berikut beberapa contoh matriks persegi.

• $C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&5 \end{array}} \right)$ adalah matriks persegi berordo 2.
• $S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&0\\ { - 3}&0&5\\ 5&7&{ - 4} \end{array}} \right)$ adalah matriks persegi berordo 3.

Dalam suatu matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen ${a_{11}}$ dengan ${a_{nn}}$ dinamakan sebagai diagonal utama (DU), sedangkan elemen-elemen yang terletak pada garis hubung ${a_{n1}}$ dan ${a_{1n}}$ disebut sebagai diagonal samping (DS).

4. Matriks Segitiga

Misalkan suatu matriks persegi berordo $n$ dengan elemen-elemen matriks yang berada di atas atau dibawah diagonal utama semuanya bernilai nol. Matriks yang berciri demikian dinamakan matriks segitiga. Berikut ini diberikan dua contoh matriks segitiga.

• Matriks segitiga dengan semua elemen di atas diagonal utama bernilai nol.
$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 4&2&0\\ 5&6&3 \end{array}} \right)$
• Matriks segitiga dengan semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.
$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 5}&7\\ 0&2&8\\ 0&0&3 \end{array}} \right)$
5. Matriks Diagonal

Misalkan suatu matriks persegi berordo $n$ dengan elemen-elemen matriks yang berada di atas dan di bawah diagonal utama bernilai nol, terkecuali yang terletak pada diagonal utama. Matriks yang berciri demikian dinamakan matriks diagonal. Berikut ini contoh matriks diagonal.

• $C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{array}} \right)$ merupakan matriks diagonal berordo 3.
• $D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right)$ merupakan matriks diagonal berordo 2.
6. Matriks Identitas

Suatu matriks diagonal berordo $n$ dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 disebut sebagai matriks identitas atau matriks satuan. Matriks identitas berordo $n$ dilambangkan dengan ${I_n}$. Berikut ini beberapa contoh matriks identitas.

• ${I_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right)$ merupakan matriks identitas berordo 2.
• ${I_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right)$ merupakan matriks identitas berordo 3.
7. Matriks datar

Suatu matriks yang banyaknya kolom lebih banyak dibandingkan banyaknya baris disebut sebagai matriks datar. Berikut ini contoh matriks datar.

• $T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&5\\ 2&4&6 \end{array}} \right)$ merupakan matriks datar.
8. Matriks Tegak

Suatu matriks yang banyaknya baris lebih banyak dibandingkan banyaknya kolom disebut sebagai matriks tegak. Berikut ini contoh matriks tegak.

• $E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&5\\ { - 7}&7\\ 0&4 \end{array}} \right)$ merupakan matriks tegak.

Transpos Matriks

Pengertian transpos matriks masih terkait dengan ordo, baris, kolom, dan elemen-elemen dalam suatu matriks. Transpos atau putaran matriks A dapat ditulis dengan menggunakan salah satu lambang sebagai berikut:

\[\boxed{A'\text{ atau }{A^t}\text{ atau }\widetilde A}\]

(dibaca: A aksen atau A transpos atau putaran A)

Definisi

Transpos dari matriks A berordo $m \times n$ adalah sebuah matriks $A'$ berordo $n \times m$ yang disusun dengan proses sebagai berikut:

• Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks $A'$
• Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks $A'$
• Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks $A'$, demikian seterusnya.
• Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks $A'$

Matriks Simetris atau Matrik Setangkup

Misalkan matriks A adalah matriks berordo $n$. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkup jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, ditulis

\[{a_{ij}} = {a_{ji}}\]

dengan $i \ne j$.

Sebagai akibat dari definisi di atas, jika A adalah matriks simetris maka transpos dari matriks A sama dengan matriks A itu sendiri atau $A' = A$.

Kesamaan Dua Matriks

Definisi

Matriks A dan matriks B dikatakan sama $\left( {A = B} \right)$, jika dan hanya jika

1. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
2. semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, ${a_{ij}} = {b_{ij}}$ (untuk semua nilai $i$ dan $j$).

Contoh-Contoh

Tentukan nilai $x$ dan $y$ dari kesamaan matriks berikut ini

1. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{3x}\\ { - 4y}&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6\\ { - 12}&0 \end{array}} \right)$
2. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&4\\ {2x - y}&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x}&4\\ { - 12}&0 \end{array}} \right)$
3. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y}&1\\ {x - y}&{ - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&1\\ 1&{ - 5} \end{array}} \right)$

Jawab

1. Kedua matriks sama, sehingga berlaku:
$\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{3x}\\ { - 4y}&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6\\ { - 12}&0 \end{array}} \right)\\ 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\\ - 4y = - 12 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 12}}{{ - 4}} = 3 \end{array}$

Jadi, nilai $x = \frac{2}{3}$ dan $y=3$.

2. Kedua matriks sama, sehingga berlaku:
$\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&4\\ {2x - y}&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x}&4\\ { - 12}&0 \end{array}} \right)\\ - 2x = 7 \Leftrightarrow x = \frac{7}{{ - 2}} = - 3\frac{1}{2}\\ 2x - y = - 12\\ \Leftrightarrow 2\left( { - 3\frac{1}{2}} \right) - y = - 12\\ \Leftrightarrow - 7 - y = - 12\\ \Leftrightarrow - y = - 12 + 7\\ \Leftrightarrow - y = - 5\\ \Leftrightarrow y = 5 \end{array}$

Jadi, nilai $x = -3\frac{1}{2}$ dan $y=5$.

3. Kedua matriks sama, sehingga berlaku:
$\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y}&1\\ {x - y}&{ - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&1\\ 1&{ - 5} \end{array}} \right)\\ x + y = 7\\ \underline {x - y = 1} + \\ 2x = 8\\ x = 4\\ x + y = 7\\ \Leftrightarrow 4 + y = 7\\ \Leftrightarrow y = 3 \end{array}$

Jadi, nilai $x = 4$ dan $y=3$.