Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Untuk memahami ciri pada barisan geometri, simaklah barisan-barisan bilangan berikut.

1. $2,6,18,54, \cdots $
2. $-32,16,-8,4, \cdots $

Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan bilangan tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu dinamakan sebagai barisan geometri dan perbandingan dua suku yang berurutan disebut pembanding atau rasio (dilambangkan dengan huruf $r$). Sebagai contoh, nilai rasio barisan-barisan di atas dapat ditetapkan sebagai berikut.

1. $r = \frac{6}{2} = \frac{{18}}{6} = \frac{{54}}{{18}} = 3$
2. $r = \frac{{16}}{{ - 32}} = \frac{{ - 8}}{{16}} = \frac{4}{{ - 8}} = - \frac{1}{2}$

Definisi: Barisan Geometri

Suatu barisan ${u_1},{u_2},{u_3}, \cdots ,{u_m}$ disebut barisan geometri, jika untuk sembarang nilai $n$ anggota bilangan asli kurang dari $m$ berlaku hubungan \[\boxed{\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = r}\] dengan $r$ adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada $n$.

Rumus umum suku ke-n pada barisan geometri

Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Rumus umum suku ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh rumus: \[\boxed{{u_n} = a{r^{n - 1}}}\]

Contoh 1

Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-10 pada barisan-barisan geometri berikut ini.

1. $27,9,3,1, \cdots $
2. $2,-6,18,-54, \cdots $

Jawab

$\begin{array}{l} a &= 27\\ r &= \frac{9}{{27}} = \frac{1}{3}\\ {u_n} &= a{r^{n - 1}}\\ {u_{10}} &= 27.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10 - 1}}\\ &= 27.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}\\ &= {3^3}.\frac{1}{{{3^9}}}\\ &= \frac{1}{{{3^6}}}\\ &= \frac{1}{{729}} \end{array}$
$\begin{array}{l} a &= 2\\ r &= \frac{{ - 6}}{2} = - 3\\ {u_n} &= a{r^{n - 1}}\\ {u_{10}} &= 2.{\left( { - 3} \right)^{10 - 1}}\\ &= 2.{\left( { - 3} \right)^9}\\ &= 2.\left( { - 19.683} \right)\\ &= - 39.366 \end{array}$

Contoh 2

Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan $5$, sedangkan suku ketiganya sama dengan $45$. Selain itu, diketahui pula bahwa rasio barisan geometri tersebut positif.

1. Tentukan rasio dari barisan geometri tersebut
2. Tentukan rumus umum suku ke-n
3. Suku keberapakah pada barisan geometri tersebut yang nilainya sama dengan $1.215$?

Jawab

$\begin{array}{l} a &= 5\\ {u_3} &= 45\\ {u_3} &= a{r^2} = 45\\ \Leftrightarrow 5.{r^2} &= 45\\ \Leftrightarrow {r^2} &= 9\\ \Leftrightarrow r &= \pm 3 \end{array}$

Karena dalam soal diketahui rasio bernilai positif, maka diambil $r=3$. Jadi, rasio dari barisan geometri tersebut adalah $3$.

2. Suku ke-n ditentukan sebagai berikut.
$\begin{array}{l} {u_n} &= a{r^{n - 1}}\\ &= {5.3^{n - 1}}\\ {u_n} &= \frac{5}{3}{.3^n} \end{array}$

Jadi, rumus umum suku ke-n dari barisan geometri tersebut adalah ${u_n} = \frac{5}{3}{.3^n}$.

3. Misalkan $1.215$ merupakan suku ke-n atau ${u_n} = 1.215$.
$\begin{array}{l} {u_n} &= 1.215\\ \Leftrightarrow \frac{5}{3}{.3^n} &= 1.215\\ \Leftrightarrow {3^n} &= \frac{3}{5} \times 1.215\\ \Leftrightarrow {3^n} &= 729\\ \Leftrightarrow {3^n} &= {3^6}\\ \Leftrightarrow n &= 6 \end{array}$

Jadi, $1.215$ merupakan suku yang ke-$6$.

Suku tengah pada barisan geometri

Suku tengah dari suatu barisan geometri yang memiliki banyak suku ganjil, dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.

1. ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6},{u_7}$ banyak suku = $7$ dan suku tengahnya adalah ${u_4}$
$\begin{array}{l} {u_4} &= a{r^3}\\ &= \sqrt {{a^2}{r^6}} \\ &= \sqrt {a \times a{r^6}} \\ &= \sqrt {{u_1} \times {u_7}} \end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah ${u_4} = \sqrt {{u_1} \times {u_7}} $.

2. ${u_1}, \cdots ,{u_k}, \cdots ,{u_{2k - 1}}$ banyak suku = $\left( {2k - 1} \right)$ dan suku tengahnya adalah ${u_k}$
$\begin{array}{l} {u_k} &= a{r^{k - 1}}\\ &= \sqrt {{a^2}{r^{2k - 2}}} \\ &= \sqrt {a \times a{r^{2k - 2}}} \\ {u_k} &= \sqrt {{u_1} \times {u_{2k - 1}}} \end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah ${u_k} = \sqrt {{u_1} \times {u_{2k - 1}}} $.

Berdasarkan deskripsi di atas, suku tengah dari suatu barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut.

Rumus suku tengah pada barisan geometri

Suatu barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjil $\left( {2k - 1} \right)$ dengan $k$ anggota bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-$k$ atau ${u_k}$ dan rumus suku tengah ${u_k}$ ditentukan oleh hubungan: \[\boxed{{u_k} = \sqrt {{u_1} \times {u_{2k - 1}}} }\]

Contoh 3

Ditentukan barisan geometri $\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2}, \cdots ,128$. Banyaknya suku pada barisan geometri tersebut adalah ganjil.

1. Carilah suku tengahnya
2. Suku keberapa suku tengahnya tersebut?
3. Berapakah banyak suku barisan tersebut?

Jawab

$\begin{array}{l} a &= {u_1} = \frac{1}{8}\\ r &= 2\\ {u_{2k - 1}} &= 128\\ {u_k} &= \sqrt {{u_1} \times {u_{2k - 1}}} \\ &= \sqrt {\frac{1}{8} \times 128} \\ &= \sqrt {16} \\ &= 4 \end{array}$

Jadi, suku tengahnya sama dengan $4$.

$\begin{array}{l} {u_k} &= a{r^{k - 1}}\\ \Leftrightarrow 4 &= \frac{1}{8}{.2^{k - 1}}\\ \Leftrightarrow 32 &= {2^{k - 1}}\\ \Leftrightarrow {2^5} &= {2^{k - 1}}\\ \Leftrightarrow 5 &= k - 1\\ \Leftrightarrow k &= 6 \end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-$6$.

3. Banyak suku pada barisan geometri tersebut adalah $2k - 1 = 2.6 - 1 = 11$

Sisipan pada barisan geometri

Rumus sisipan pada barisan geometri

Di antara dua bilangan $x$ dan $y$ disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan \[\boxed{r = \sqrt[{k + 1}]{{\frac{y}{x}}}}\] dengan $x$ dan $y$ bilangan real $\left( {x \ne y} \right)$ dan $k$ bilangan asli.

Bilangan-bilangan semula dengan bilangan yang disisipkan itu dapat disusun sebagai berikut. \[\boxed{x,\underbrace {xr,x{r^2},x{r^3}, \cdots ,x{r^k}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {\text{bilangan-bilangan yang}}\\ {\text{disisipkan sebanyak k buah}} \end{array}},y}\]

Catatan :

1. Untuk $k$ genap, nilai $r$ yang diperoleh hanya $1$ yaitu $r = \sqrt[{k + 1}]{{\frac{y}{x}}}$.
2. Untuk $k$ ganjil, nilai $r$ yang diperoleh ada $2$ kemungkinan yaitu $r = + \sqrt[{k + 1}]{{\frac{y}{x}}}$ dan $r = - \sqrt[{k + 1}]{{\frac{y}{x}}}$.

Contoh 4

Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada soal-soal berikut.

1. Di antara bilangan-bilangan $\frac{1}{4}$ dan $8$ disisipkan sebanyak $4$ buah bilangan
2. Di antara bilangan-bilangan $2$ dan $162$ disisipkan sebanyak $3$ buah bilangan

Jawab

$\begin{array}{l} x &= \frac{1}{4}\\ y &= 8\\ k &= 4\left( {genap} \right)\\ r &= \sqrt[{k + 1}]{{\frac{y}{x}}}\\ &= \sqrt[{4 + 1}]{{\frac{8}{{\frac{1}{4}}}}}\\ &= \sqrt[5]{{32}}\\ &= 2 \end{array}$

Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk adalah $r=2$.

$\begin{array}{l} x &= 2\\ y &= 162\\ k &= 3\left( {ganjil} \right)\\ r &= \pm \sqrt[{k + 1}]{{\frac{y}{x}}}\\ &= \pm \sqrt[{3 + 1}]{{\frac{{162}}{2}}}\\ &= \pm \sqrt[4]{{81}}\\ &= \pm 3 \end{array}$

Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk adalah $r=3$ atau $r=-3$.

Deret Geometri

Jika suku-suku dari suatu barisan geometri dijumlahkan, maka penjumlahan beruntun dari suku-suku barisan geometri itu dinamakan sebagai deret geometri.

Sebagai contoh : dari barisan geometri $3,6,12,24, \cdots ,192$ dapat dibentuk deret geometri $3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 192$. Dengan demikian, deret geometri dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Deret Geometri

Jika ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4}, \cdots ,{u_n}$ merupakan barisan geometri, maka ${u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + \cdots + {u_n}$ dinamakan sebagai deret geometri.

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri ${u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + \cdots + {u_n}$ ditentukan dengan menggunakan rumus \[\boxed{{S_n} = \frac{{a\left( {1 - {r^n}} \right)}}{{1 - r}}}\] atau \[\boxed{{S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}}\] dengan $n$ = banyak suku, $a$ = suku pertama, dan $r$ = rasio.

Contoh 5

Hitunglah jumlah $10$ suku pertama pada deret geometri berikut ini.

1. $81 + 27 + 9 + \cdots $
2. $2 + 3 + \frac{9}{2} + \cdots $

Jawab

1. $81 + 27 + 9 + \cdots $ deret geometri dengan $a=81$ dan rasio $r = \frac{1}{3}$.
$\begin{array}{l} {S_n} &= \frac{{a\left( {1 - {r^n}} \right)}}{{1 - r}}\\ {S_{10}} &= \frac{{81\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}}\\ &= \frac{{81\left( {1 - \frac{1}{{{3^{10}}}}} \right)}}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{81\left( {1 - \frac{1}{{59.049}}} \right)}}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{81\left( {\frac{{59.049}}{{59.049}} - \frac{1}{{59.049}}} \right)}}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{81\left( {\frac{{59.048}}{{59.049}}} \right)}}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{\left( {\frac{{59.048}}{{729}}} \right)}}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{59.048}}{{729}} \times \frac{3}{2}\\ &= \frac{{29.524}}{{243}}\\ &= 121\frac{{121}}{{243}} \end{array}$

Jadi, jumlah $10$ suku pertama deret geometri $81 + 27 + 9 + \cdots $ sama dengan $121\frac{{121}}{{243}}$.

2. $2 + 3 + \frac{9}{2} + \cdots $ deret geometri dengan $a=2$ dan rasio $r = \frac{3}{2}$.
$\begin{array}{l} {S_n} &= \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\\ {S_{10}} &= \frac{{2\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}} - 1} \right)}}{{\frac{3}{2} - 1}}\\ &= \frac{{2\left( {\frac{{{3^{10}}}}{{{2^{10}}}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2}}}\\ &= \frac{{2\left( {\frac{{59.049}}{{1.024}} - \frac{{1.024}}{{1.024}}} \right)}}{{\frac{1}{2}}}\\ &= \frac{{2\left( {\frac{{58.025}}{{1.024}}} \right)}}{{\frac{1}{2}}}\\ &= 4\left( {\frac{{58.025}}{{1.024}}} \right)\\ &= 226\frac{{169}}{{256}} \end{array}$

Jadi, jumlah $10$ suku pertama deret geometri $2 + 3 + \frac{9}{2} + \cdots $ sama dengan $226\frac{{169}}{{256}}$.

Deret Geometri tak Hingga

Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus mendekati tak hingga, maka deret geometri semacam ini disebut dengan deret geometri tak hingga.

Sifat deret geometri tak hingga

Deret geometri tak hingga $a + ar + a{r^2} + \cdots + a{r^{n - 1}} + \cdots $ dikatakan

1. mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika $\left| r \right| < 1$.

Limit jumlah itu ditentukan oleh rumus \[\boxed{{S_\infty } = \frac{a}{{1 - r}}}\]

2. tidak memiliki limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika $\left| r \right| > 1$

Contoh 6

Diketahui deret geometri $1 + 0,5 + 0,25 + \cdots $

1. Tentukan rumus jumlah $n$ suku pertamanya atau ${S_n}$
2. Hitunglah limit jumlahnya atau ${S_\infty }$

Jawab

1. $1 + 0,5 + 0,25 + \cdots $ merupakan deret geometri dengan suku pertama $a=1$ dan rasio $r = \frac{1}{2}$. Jumlah $n$ suku pertama ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
$\begin{array}{l} {S_n} &= \frac{{a\left( {1 - {r^n}} \right)}}{{1 - r}}\\ &= \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}}\\ &= \frac{{1\left( {1 - {{\left( {{2^{ - 1}}} \right)}^n}} \right)}}{{\frac{1}{2}}}\\ &= 2\left( {1 - {2^{ - n}}} \right) \end{array}$

Jadi, rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri tersebut adalah ${S_n} = 2\left( {1 - {2^{ - n}}} \right)$.

2. Karena rasio $r = \frac{1}{2}$, maka deret geometri tak hingga tersebut konvergen dengan limit jumlah
$\begin{array}{l} {S_\infty } &= \frac{a}{{1 - r}}\\ &= \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}}\\ &= \frac{1}{{\frac{1}{2}}}\\ &= 2 \end{array}$

Jadi, limit jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah ${S_\infty } = 2$

Contoh 7

Sepotong kawat mempunyai panjang $124$ cm, dipotong menjadi $5$ bagian sehingga potongan-potongan kawat tersebut membentuk barisan geometri dengan panjang kawat terpendek sama dengan $4$ cm. Tentukan panjang potongan kawat yang terpanjang!

Jawab

Misalkan panjang potongan-potongan kawat tersebut berturut-turut adalah ${u_1}$, ${u_2}$, ${u_3}$, ${u_4}$, dan ${u_5}$ membentuk barisan geometri dengan suku pertama $a = 4$ dan rasio $r$. Jika suku-suku barisan geometri tersebut membentuk deret geometri dengan jumlah sama dengan panjang kawat.

$\begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} &= 124\\ \frac{{4\left( {{r^5} - 1} \right)}}{{r - 1}} &= 124\\ 4\left( {{r^5} - 1} \right) &= 124\left( {r - 1} \right)\\ \left( {{r^5} - 1} \right) &= 31\left( {r - 1} \right)\\ {r^5} - 31r + 30 &= 0 \end{array}$

Persamaan dapat diselesaikan dengan cara skema sebagai berikut

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} \boxed{2}\\ {} \end{array}\left| \!{\underline {\, {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&{ - 31}&{30}\\ {}&2&4&8&{16}&{ - 30} \end{array}} \,}} \right. \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&1&2&4&8&{ - 15}&\boxed{0} \end{array} \end{array}$

Penyelesaian dari persamaan di atas adalah $r=2$. Dari suku pertama $a=4$ dan rasio $r=2$, maka suku kelima dapat ditentukan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {u_5} &= a{r^4}\\ &= {4.2^4}\\ &= 64 \end{array}$

Jadi, panjang potongan kawat yang terpanjang adalah $64$ cm.