Pengenalan Vektor

Vektor Sebagai Ruas Garis Berarah

Dalam bidang fisika, dikenal ada dua macam besaran. Kedua macam besaran itu adalah besaran skalar dan besaran vektor yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Besaran Skalar dan Besaran Vektor

1. Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja, tetapi tidak mempunyai arah. Aljabar yang berlaku bagi besaran skalar adalah aljabar bilangan real biasa.
2. Besaran Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai sekaligus arah, dan di dalamnya berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.

Berdasarkan tinjauan bidang kajian geometri, secara umum suatu besaran vektor dapat digambarkan dengan menggunakan ruas garis berarah. Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor atau besar vektor, sedangkan arah dari peubah merupakan petunjuk arah vektor. Sebagai contoh: vektor yang dinyatakan oleh ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ pada gambar di atas panjangnya $3$ satuan dan arahnya membentuk sudut ${45^ \circ }$ terhadap sumbu $X$ positif.

Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya: $a$, $b$, $c$,... dan seterusnya. Cara lain untuk menuliskan vektor adalah dengan menggunakan notasi huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya: $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, $\overrightarrow c $,... dan seterusnya. Sedangkan panjang suatu vektor $\overrightarrow a $ dilambangkan dengan $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Dengan memperhatikan gambar di atas, vektor ini dinyatakan sebagai ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ atau sebagai vektor tunggal $\overrightarrow a $. Dalam hal ini, ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ dinamakan sebagai wakil dari vektor $\overrightarrow a $, titik $O$ dinamakan sebagai titik pangkal, dan titik $A$ dinamakan sebagai titik ujung atau terminal bagi vektor $\overrightarrow a $.

Aljabar Vektor Ditinjau dari Sudut Pandang Geometri

Dari tinjauan geometri bidang, suatu ruas garis berarah dapat terletak pada sebuah bidang datar (di ruang dimensi $2$ atau di $R2$). Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada bidang datar seperti itu dinamakan sebagai vektor di bidang atau vektor di $R2$. Selain di bidang, suatu ruas garis berarah dapat pula berada pada sebuah ruang (di ruang dimensi tiga atau $R3$). Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada ruang dinamakan vektor di ruang atau vektor di $R3$. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Vektor di $R2$

Vektor di $R3$

Kesamaan Dua Vektor

Kesamaan dua vektor didefinisikan sebagai berikut.

Definisi Kesamaan Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $. Vektor $\overrightarrow a $ dikatakan sama atau ekuivalen dengan vektor $\overrightarrow b $ (ditulis $\overrightarrow a = \overrightarrow b $), jika dan hanya jika:

1. panjang vektor $\overrightarrow a $ sama dengan panjang vektor $\overrightarrow b $, dan
2. arah vektor $\overrightarrow a $ sama dengan arah vektor $\overrightarrow b $.

Penjumlahan dan Pengurangan Dua Vektor

Penjumlahan Dua Vektor

Secara umum, jika vektor $\overrightarrow c $ adalah jumlah dari vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ maka vektor $\overrightarrow c $ ditulis $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $. Dalam hal demikian, vektor $\overrightarrow c $ disebut sebagai vektor resultan dari vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $.

Menentukan jumlah dua vektor dengan menggunakan aturan segitiga

Jumlah vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $ dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor $\overrightarrow b $ (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor $\overrightarrow b $ berimpit dengan titik ujung dari vektor $\overrightarrow a $. Vektor $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $ dapat diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor $\overrightarrow a $ dengan titik ujung vektor $\overrightarrow b $ yang telah dipindahkan tadi. Menjumlahkan dua vektor dengan cara seperti itu disebut sebagai aturan segitiga.

Menentukan jumlah dua vektor dengan menggunakan aturan jajargenjang

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ adalah dengan cara memindahkan vektor $\overrightarrow b $ (tanpa mengubah besar dan arahnya), dengan titik pangkal vektor $\overrightarrow b $ berimpit dengan titik pangkal vektor $\overrightarrow a $. Vektor $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $ adalah vektor yang titik pangkalnya tepat di titik persekutuan vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ yang telah dipindahkan, serta vektor ini berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ yang telah dipindahkan tadi. Menjumlahkan dua vektor dengan cara seperti itu disebut sebagai aturan jajargenjang atau aturan paralelogram.

aturan segitiga

aturan jajargenjang

Contoh 1

Pada gambar di bawah ini diperlihatkan tiga buah vektor, yaitu vektor $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, dan $\overrightarrow c $. Gambarkan diagram vektor $\overrightarrow p $ yang menyatakan jumlah dari vektor-vektor $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, dan $\overrightarrow c $ atau $\overrightarrow p = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c $.

Jawab

Penjumlahan dari vektor-vektor $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, dan $\overrightarrow c $ dapat dikerjakan dengan aturan segitiga berulang kali. Hasilnya bisa dilihat pada gambar berikut.

Dari gambar di atas, vektor $\overrightarrow p = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c $ ditunjukkan oleh ruas garis berarah warna biru.

Sifat-Sifat Penjumlahan Dua Vektor

Untuk membahas sifat-sifat penjumlahan dua vektor, perlu dipahami terlebih dahulu pengertian vektor nol dan lawan suatu vektor melalui definisi berikut ini.

Definisi: Vektor Nol

Vektor nol adalah suatu vektor yang besarnya atau panjangnya sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor nol ditulis dengan notasi $\overrightarrow 0 $.

Definisi: Lawan Suatu Vektor

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $. Vektor $\overrightarrow b $ mempunyai panjang yang sama dengan panjang vektor $\overrightarrow a $, tetapi arah vektor $\overrightarrow b $ berlawanan arah dengan arah vektor $\overrightarrow a $. Dalam hal ini, dikatakan vektor $\overrightarrow b $ lawan dari vektor $\overrightarrow a $ dan sebaliknya. Ditulis dengan notasi sebagai berikut:

\[\boxed{\overrightarrow b = - \overrightarrow a }\]

Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Vektor

Misalkan diketahui vektor-vektor sembarang $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, dan $\overrightarrow c $. Maka sifat-sifat operasi penjumlahan vektor dapat dirangkum sebagai berikut.

1. Sifat Komutatif : $\boxed{\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a }$.
2. Sifat Asosiatif : $\boxed{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)}$
3. Dalam operasi penjumlahan vektor terdapat sebuah unsur identitas atau unsur satuan. Unsur identitas itu adalah vektor $\overrightarrow 0 $, yang bersifat: $\boxed{\overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a + \overrightarrow 0 }$
4. Dalam operasi penjumlahan vektor, setiap vektor mempunyai lawan bagi vektor itu. Misalkan vektor $\overrightarrow a $ adalah lawan bagi vektor $\overrightarrow b $ (dan sebaliknya), maka berlaku sifat : $\boxed{\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 }$

Pengurangan atau Selisih Dua Vektor

Definisi : Pengurangan Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $. Pengurangan atau selisih vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ ditentukan sebagai jumlah vektor $\overrightarrow a $ dengan lawan dari vektor $\overrightarrow b $, ditulis:

$\boxed{\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)}$

Contoh 2

Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah vektor, yaitu vektor $\overrightarrow a $ dan $\overrightarrow b $. Gambarkan diagram vektor $\overrightarrow q $ yang menyatakan selisih antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow q = \overrightarrow a - \overrightarrow b $.

Jawab

Selisih dari vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow q = \overrightarrow a - \overrightarrow b $ dapat dikerjakan dengan aturan segitiga. Hasilnya bisa dilihat pada gambar berikut.

Hasil Kali Skalar dengan Vektor

Yang dimaksud perkalian skalar dengan vektor adalah perkalian antara suatu bilangan real dengan suatu vektor.

Definisi : Hasil Kali Skalar dengan Vektor

Misalkan $m$ adalah suatu skalar (bilangan real) dan $\overrightarrow a $ adalah suatu vektor. Hasil kali skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow a $, ditulis sebagai $\overrightarrow p = m\overrightarrow a $, ditentukan sebagai berikut:

Panjang vektor $\overrightarrow p $ sama dengan hasil kali $\left| m \right|$ dengan panjang vektor $\overrightarrow a $.

• Jika nilai $m > 0$, maka vektor $\overrightarrow p $ searah dengan vektor $\overrightarrow a $.
• Jika nilai $m < 0$, maka vektor $\overrightarrow p $ berlawanan arah dengan vektor $\overrightarrow a $.

Sifat-Sifat Hasil Kali Skalar dengan Vektor

Misalkan $m$ dan $n$ adalah skalar-skalar (bilangan-bilangan real), $\overrightarrow a $ dan $\overrightarrow b $ adalah vektor-vektor sembarang. Hasil kali suatu skalar dengan suatu vektor memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. $\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$
2. $m\left( { - \overrightarrow a } \right) = - m\overrightarrow a $
3. $m\overrightarrow a = \overrightarrow a m$
4. $\left( {mn} \right)\overrightarrow a = m\left( {n\overrightarrow a } \right)$
5. $\left( {m + n} \right)\overrightarrow a = m\overrightarrow a + n\overrightarrow a $
6. $m\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = m\overrightarrow a + m\overrightarrow b $