Rumus-Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, yaitu $\sin \left( {a \pm b} \right)$, $\cos \left( {a \pm b} \right)$, dan $\tan \left( {a \pm b} \right)$ mengikuti kaidah-kaidah tertentu yang dirangkum dalam rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut berikut.

Rumus untuk $\cos \left( {a \pm b} \right)$

Rumus $\cos \left( {a + b} \right)$

Pada gambar berikut diperlihatkan sebuah lingkaran dengan jari-jari $1$ satuan (disebut lingkaran satuan), sehingga titik $A$ mempunyai koordinat $\left( {1,0} \right)$.

Misalkan $\angle AOB = a$ dan $\angle BOC = b$, maka $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = a + b$. Dengan mengambil sudut pertolongan $\angle AOD = -b$, maka $\Delta AOC$ kongruen dengan $\Delta BOD$, sehingga mengakibatkan $AC=BD$ atau $A{C^2} = B{D^2}$.

Kita ingat bahwa koordinat Cartesius sebuah titik dapat dinyatakan sebagai $\left( {r\cos a,r\sin a} \right)$, sehingga koordinat titik $B$ adalah $\left( {\cos a,\sin a} \right)$, titik $C$ adalah $\left( {\cos \left( {a + b} \right),\sin \left( {a + b} \right)} \right)$ dan titik $D$ adalah $\left( {\cos b, - \sin b} \right)$.

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh.

• Jarak titik $A\left( {1,0} \right)$ dan $C\left( {\cos \left( {a + b} \right),\sin \left( {a + b} \right)} \right)$ adalah
$\begin{array}{l} A{C^2} &= {\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - 1} \right]^2} + {\left[ {\sin \left( {a + b} \right) - 0} \right]^2}\\ &= {\cos ^2}\left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a + b} \right) + 1 + {\sin ^2}\left( {a + b} \right)\\ &= {\cos ^2}\left( {a + b} \right) + {\sin ^2}\left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a + b} \right) + 1\\ &= 1 - 2\cos \left( {a + b} \right) + 1\\ &= 2 - 2\cos \left( {a + b} \right) \end{array}$
• Jarak titik $B\left( {\cos a,\sin a} \right)$ dan $D\left( {\cos b, - \sin b} \right)$ adalah
$\begin{array}{l} B{D^2} &= {\left[ {\cos a - \cos b} \right]^2} + {\left[ {\sin a - \left( { - \sin b} \right)} \right]^2}\\ &= {\left[ {\cos a - \cos b} \right]^2} + {\left[ {\sin a + \sin b} \right]^2}\\ &= {\cos ^2}a - 2\cos a\cos b + {\cos ^2}b + {\sin ^2}a + 2\sin a\sin b + {\sin ^2}b\\ &= {\cos ^2}a + {\sin ^2}a - 2\cos a\cos b + {\cos ^2}b + {\sin ^2}b + 2\sin a\sin b\\ &= 1 - 2\cos a\cos b + 1 + 2\sin a\sin b\\ &= 2 - 2\cos a\cos b + 2\sin a\sin b \end{array}$

Karena $A{C^2} = B{D^2}$, maka diperoleh hubungan

$\begin{array}{l} A{C^2} &= B{D^2}\\ 2 - 2\cos \left( {a + b} \right) &= 2 - 2\cos a\cos b + 2\sin a\sin b\\ 2\cos \left( {a + b} \right) - 2 &= 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b - 2\\ 2\cos \left( {a + b} \right) &= 2\cos a\cos b - 2\sin a\sin b\\ \cos \left( {a + b} \right) &= \cos a\cos b - \sin a\sin b \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\cos \left( {a + b} \right)$ adalah

\[\boxed{\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b}\]

Rumus $\cos \left( {a - b} \right)$

Rumus untuk $\cos \left( {a - b} \right)$ dapat diperoleh dari rumus $\cos \left( {a + b} \right)$ dengan cara mengganti sudut $b$ dengan sudut $\left( { - b} \right)$ sebagai berikut.

$\begin{array}{l} \cos \left( {a - b} \right) &= \cos \left( {a + \left( { - b} \right)} \right)\\ &= \cos a\cos \left( { - b} \right) - \sin a\sin \left( { - b} \right)\\ &= \cos a\cos b - \sin a.\left( { - \sin b} \right)\\ &= \cos a\cos b + \sin a\sin b \end{array}$

Sehingga rumus untuk $\cos \left( {a - b} \right)$ adalah

\[\boxed{\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b}\]

Rumus di atas dapat ditulis secara bersamaan sebagai berikut.

\[\boxed{\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b}\]

Contoh 1

Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari:

1. $\cos {15^ \circ }$
2. $\cos {75^ \circ }$

Jawab

$\begin{array}{l} \cos {15^ \circ } &= \cos \left( {{{45}^ \circ } - {{30}^ \circ }} \right)\\ &= \cos {45^ \circ }\cos {30^ \circ } + \sin {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ &= \frac{1}{2}\sqrt 2 .\frac{1}{2}\sqrt 3 + \frac{1}{2}\sqrt 2 .\frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt 6 + \frac{1}{4}\sqrt 2 \\ &= \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) \end{array}$

Jadi, nilai $\cos {15^ \circ } = \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)$

$\begin{array}{l} \cos {75^ \circ } &= \cos \left( {{{45}^ \circ } + {{30}^ \circ }} \right)\\ &= \cos {45^ \circ }\cos {30^ \circ } - \sin {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ &= \frac{1}{2}\sqrt 2 .\frac{1}{2}\sqrt 3 - \frac{1}{2}\sqrt 2 .\frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt 6 - \frac{1}{4}\sqrt 2 \\ &= \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right) \end{array}$

Jadi, nilai $\cos {75^ \circ } = \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)$

Rumus Untuk $\sin \left( {a \pm b} \right)$

Rumus $\sin \left( {a + b} \right)$

Rumus Rumus $\sin \left( {a + b} \right)$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus-rumus yang pernah kita pelajari sebelumnya, yaitu:

1. Rumus sudut berelasi
• $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a$
• $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \sin a$
2. Rumus $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} \sin \left( {a + b} \right) &= \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right)\\ &= \cos \left( {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right)\\ &= \underbrace {\cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)}_{\sin a}\cos b + \underbrace {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)}_{\cos a}\sin b\\ &= \sin a\cos b + \cos a\sin b \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\sin \left( {a + b} \right)$ adalah

\[\boxed{\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b}\]

Rumus $\sin \left( {a - b} \right)$

Rumus untuk $\sin \left( {a - b} \right)$ dapat diperoleh dari rumus $\sin \left( {a + b} \right)$ dengan cara mengganti sudut $b$ dengan $\left( { - b} \right)$. Sehingga rumus untuk $\sin \left( {a - b} \right)$ adalah

$\begin{array}{l} \sin \left( {a - b} \right) &= \sin \left( {a + \left( { - b} \right)} \right)\\ &= \sin a\cos \left( { - b} \right) + \cos a\sin \left( { - b} \right)\\ &= \sin a\cos b - \cos a\sin b \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\sin \left( {a - b} \right)$ adalah

\[\boxed{\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b}\]

Kedua rumus di atas dapat ditulis secara bersamaan sebagai berikut.

\[\boxed{\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b}\]

Contoh 2

Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari:

1. $\sin {15^ \circ }$
2. $\sin {105^ \circ }$

Jawab

$\begin{array}{l} \sin {15^ \circ } &= \sin \left( {{{45}^ \circ } - {{30}^ \circ }} \right)\\ &= \sin {45^ \circ }\cos {30^ \circ } - \cos {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ &= \frac{1}{2}\sqrt 2 .\frac{1}{2}\sqrt 3 - \frac{1}{2}\sqrt 2 .\frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt 6 - \frac{1}{4}\sqrt 2 \\ &= \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right) \end{array}$

Jadi, nilai $\sin {15^ \circ } = \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)$

$\begin{array}{l} \sin {105^ \circ } &= \sin \left( {{{60}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right)\\ &= \sin {60^ \circ }\cos {45^ \circ } + \cos {60^ \circ }\sin {45^ \circ }\\ &= \frac{1}{2}\sqrt 3 .\frac{1}{2}\sqrt 2 + \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt 2\\ &= \frac{1}{4}\sqrt 6 + \frac{1}{4}\sqrt 2 \\ &= \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) \end{array}$

Jadi, nilai $\sin {105^ \circ } = \frac{1}{4}\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)$

Contoh 3

Diketahui $a$ dan $b$ adalah sudut-sudut lancip ($0 < a < \frac{\pi }{2}$ dan $0 < b < \frac{\pi }{2}$). Jika $\cos a = \frac{4}{5}$ dan $\cos b = \frac{5}{13}$, hitunglah:

1. $\sin \left( {a + b} \right)$
2. $\sin \left( {a - b} \right)$
3. $\cos \left( {a + b} \right)$
4. $\cos \left( {a - b} \right)$

Jawab

Untuk $\cos a = \frac{4}{5}$ diperoleh $\sin a = \frac{3}{5}$

Untuk $\cos b = \frac{5}{13}$ diperoleh $\sin b = \frac{12}{13}$

$\begin{array}{l} \sin \left( {a + b} \right) &= \sin a\cos b + \cos a\sin b\\ &= \frac{3}{5}.\frac{5}{{13}} + \frac{4}{5}.\frac{{12}}{{13}}\\ &= \frac{{15}}{{65}} + \frac{{48}}{{65}}\\ &= \frac{{63}}{{65}} \end{array}$
$\begin{array}{l} \sin \left( {a - b} \right) &= \sin a\cos b - \cos a\sin b\\ &= \frac{3}{5}.\frac{5}{{13}} - \frac{4}{5}.\frac{{12}}{{13}}\\ &= \frac{{15}}{{65}} - \frac{{48}}{{65}}\\ &= - \frac{{33}}{{65}} \end{array}$
$\begin{array}{l} \cos \left( {a + b} \right) &= \cos a\cos b - \sin a\sin b\\ &= \frac{4}{5}.\frac{5}{{13}} - \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}}\\ &= \frac{{20}}{{65}} - \frac{{36}}{{65}}\\ &= - \frac{{16}}{{65}} \end{array}$
$\begin{array}{l} \cos \left( {a - b} \right) &= \cos a\cos b + \sin a\sin b\\ &= \frac{4}{5}.\frac{5}{{13}} + \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}}\\ &= \frac{{20}}{{65}} + \frac{{36}}{{65}}\\ &= \frac{{56}}{{65}} \end{array}$

Rumus untuk $\tan \left( {a \pm b} \right)$

Rumus $\tan \left( {a + b} \right)$

Berdasarkan rumus perbandingan $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}$, maka:

$\begin{array}{l} \tan \left( {a + b} \right) &= \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}\\ &= \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\\ &= \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}} \times \frac{{\frac{1}{{\cos a\cos b}}}}{{\frac{1}{{\cos a\cos b}}}}\\ &= \frac{{\frac{{\sin a\cos b}}{{\cos a\cos b}} + \frac{{\cos a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b}}{{\cos a\cos b}} - \frac{{\sin a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}\\ &= \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} + \frac{{\sin b}}{{\cos b}}}}{{1 - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}.\frac{{\sin b}}{{\cos b}}}}\\ &= \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\tan \left( {a + b} \right)$ adalah

\[\boxed{\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}}\]

Rumus $\tan \left( {a - b} \right)$

Rumus untuk $\tan \left( {a - b} \right)$ dapat diperoleh dari rumus $\tan \left( {a + b} \right)$ dengan cara mengganti sudut $b$ dengan sudut $\left( { - b} \right)$. Sehingga diperoleh rumus $\tan \left( {a - b} \right)$ yaitu:

$\begin{array}{l} \tan \left( {a - b} \right) &= \tan \left( {a + \left( { - b} \right)} \right)\\ &= \frac{{\tan a + \tan \left( { - b} \right)}}{{1 - \tan a\tan \left( { - b} \right)}}\\ &= \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}} \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\tan \left( {a - b} \right)$ adalah

\[\boxed{\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}}\]

Kedua rumus di atas dapat ditulis secara bersama sebagai berikut

\[\boxed{\tan \left( {a \pm b} \right) = \frac{{\tan a \pm \tan b}}{{1 \mp \tan a\tan b}}}\]

Contoh 4

Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari:

1. $\tan {15^ \circ }$
2. $\tan {75^ \circ }$

Jawab

$\begin{array}{l} \tan {15^ \circ } &= \tan \left( {{{45}^ \circ } - {{30}^ \circ }} \right)\\ &= \frac{{\tan {{45}^ \circ } - \tan {{30}^ \circ }}}{{1 + \tan {{45}^ \circ }\tan {{30}^ \circ }}}\\ &= \frac{{1 - \frac{1}{3}\sqrt 3 }}{{1 + 1.\frac{1}{3}\sqrt 3 }}\\ &= \frac{{1 - \frac{1}{3}\sqrt 3 }}{{1 + \frac{1}{3}\sqrt 3 }} \times \frac{{1 - \frac{1}{3}\sqrt 3 }}{{1 - \frac{1}{3}\sqrt 3 }}\\ &= \frac{{1 - \frac{2}{3}\sqrt 3 + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}}\\ &= \frac{{\frac{4}{3} - \frac{2}{3}\sqrt 3 }}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2}\\ &= 2 - \sqrt 3 \end{array}$
$\begin{array}{l} \tan {75^ \circ } &= \tan \left( {{{45}^ \circ } + {{30}^ \circ }} \right)\\ &= \frac{{\tan {{45}^ \circ } + \tan {{30}^ \circ }}}{{1 - \tan {{45}^ \circ }\tan {{30}^ \circ }}}\\ &= \frac{{1 + \frac{1}{3}\sqrt 3 }}{{1 - 1.\frac{1}{3}\sqrt 3 }}\\ &= \frac{{1 + \frac{1}{3}\sqrt 3 }}{{1 - \frac{1}{3}\sqrt 3 }} \times \frac{{1 + \frac{1}{3}\sqrt 3 }}{{1 + \frac{1}{3}\sqrt 3 }}\\ &= \frac{{1 + \frac{2}{3}\sqrt 3 + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}}\\ &= \frac{{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}\sqrt 3 }}{{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{2}\\ &= 2 + \sqrt 3 \end{array}$

Contoh 5

Diketahui segitiga $ABC$ sembarang dengan $a$, $b$, dan $c$ adalah sudut-sudutnya. Tunjukkan bahwa $\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c$.

Jawab

$\begin{array}{l} a + b + c &= {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow a &= {180^ \circ } - \left( {b + c} \right)\\ \tan a &= \tan \left[ {{{180}^ \circ } - \left( {b + c} \right)} \right]\\ &= \frac{{\tan {{180}^ \circ } - \tan \left( {b + c} \right)}}{{1 + \tan {{180}^ \circ }.\tan \left( {b + c} \right)}}\\ &= \frac{{0 - \tan \left( {b + c} \right)}}{{1 + 0.\tan \left( {b + c} \right)}}\\ &= \frac{{ - \tan \left( {b + c} \right)}}{1}\\ &= - \tan \left( {b + c} \right)\\ \tan a &= - \left[ {\frac{{\tan b + \tan c}}{{1 - \tan b\tan c}}} \right]\\ \tan a\left( {1 - \tan b\tan c} \right) &= - \tan b - \tan c\\ \tan a - \tan a\tan b\tan c &= - \tan b - \tan c\\ \tan a + \tan b + \tan c &= \tan a\tan b\tan c \end{array}$

Jadi, terbukti bahwa

$\boxed{\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c}$.