Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Misalkan $a$ adalah sebuah sudut tunggal, maka dua kali sudut $a$ (ditulis : $2a$) disebut juga sebagai sudut ganda atau sudut rangkap. Trigonometri sudut ganda, yaitu $\sin 2a$, $\cos 2a$, dan $\tan 2a$ mengikuti kaidah-kaidah tertentu yang dirangkum dalam rumus-rumus trigonometri sudut ganda. Kajian diawali dengan pembuktian rumus bagi $\sin 2a$.

Rumus $\sin 2a$

Perhatikan kembali rumus untuk $\sin \left( {a + b} \right)$.

$\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

Apabila sudut $b$ diganti dengan $a$ atau subtitusi $b=a$, maka rumus di atas menjadi

$\begin{array}{l} \sin 2a &= \sin \left( {a + a} \right)\\ &= \sin a\cos a + \cos a\sin a\\ &= 2\sin a\cos a \end{array}$

Jadi rumus untuk $\sin 2a$ adalah

\[\boxed{\sin 2a = 2\sin a\cos a}\]

Rumus $\cos 2a$

Untuk menentukan rumus $\cos 2a$, kita ingat kembali rumus $\cos \left( {a + b} \right)$

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$

Apabila sudut $b$ diganti dengan $a$ atau subtitusi $b=a$, maka rumus di atas menjadi

$\begin{array}{l} \cos \left( {a + a} \right) &= \cos a\cos a - \sin a\sin a\\ \Leftrightarrow \cos 2a &= {\cos ^2}a - {\sin ^2}a \end{array}$

Jadi rumus untuk $\cos 2a$ adalah

\[\boxed{\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a}\]

Bentuk lain untuk rumus $\cos 2a$ adalah

$\begin{array}{l} \cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow \cos 2a = {\cos ^2}a - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2a = {\cos ^2}a - 1 + {\cos ^2}a\\ \Leftrightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 \end{array}$

atau

$\begin{array}{l} \cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow \cos 2a = \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow \cos 2a = 1 - {\sin ^2}a - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\cos 2a$ selengkapnya adalah

\[\begin{array}{l} \boxed{\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a}\\ \text{atau}\\ \boxed{\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1}\\ \text{atau}\\ \boxed{\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a} \end{array}\]

Rumus $\tan 2a$

Perhatikan kembali rumus untuk $\tan \left( {a + b} \right)$

$\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}$

Apabila sudut $b$ diganti dengan $a$ atau subtitusi $b=a$, maka rumus di atas menjadi

$\begin{array}{l} \tan \left( {a + a} \right) &= \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}}\\ \tan 2a &= \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} \end{array}$

Jadi, rumus untuk $\tan 2a$ adalah

\[\boxed{\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}}\]

Contoh 1

Diketahui $a$ adalah sudut lancip dan $\sin a = \frac{{12}}{{13}}$. Hitunglah nilai dari:

1. $\sin 2a$
2. $\cos 2a$
3. $\tan 2a$

Jawab

$a$ adalah sudut lancip dan $\sin a = \frac{{12}}{{13}}$ maka dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku diperoleh $\cos a = \frac{{5}}{{13}}$ dan $\tan a = \frac{{12}}{{5}}$

1. $\sin 2a$ dihitung dengan rumus sebagai berikut
$\begin{array}{l} \sin 2a &= 2\sin a\cos a\\ &= 2.\frac{{12}}{{13}}.\frac{5}{{13}}\\ &= \frac{{120}}{{169}} \end{array}$

Jadi, nilai $\sin 2a = \frac{{120}}{{169}}$.

2. $\cos 2a$ dihitung dengan rumus sebagai berikut
$\begin{array}{l} \cos 2a &= {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\\ &= {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2}\\ &= \frac{{25}}{{169}} - \frac{{144}}{{169}}\\ &= - \frac{{119}}{{169}} \end{array}$

Jadi, nilai $\cos 2a = -\frac{{119}}{{169}}$.

3. $\tan 2a$ dihitung dengan rumus sebagai berikut
$\begin{array}{l} \tan 2a &= \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\\ &= \frac{{2.\frac{{12}}{5}}}{{1 - {{\left( {\frac{{12}}{5}} \right)}^2}}}\\ &= \frac{{\frac{{24}}{5}}}{{1 - \frac{{144}}{{25}}}}\\ &= \frac{{\frac{{24}}{5}}}{{ - \frac{{119}}{{25}}}}\\ &= \frac{{24}}{5}. - \frac{{25}}{{119}}\\ &= - \frac{{120}}{{119}} \end{array}$

Jadi, nilai $\tan 2a = -\frac{{120}}{{119}}$.

Contoh 2

Dengan menggunakan rumus trigonometri sudut ganda, carilah rumus untuk sudut-sudut berikut:

1. $\sin 3a$
2. $\cos 3a$
3. $\tan 3a$

Jawab

$\begin{array}{l} \sin 3a &= \sin \left( {2a + a} \right)\\ &= \sin 2a\cos a + \cos 2a\sin a\\ &= \left( {2\sin a\cos a} \right).\cos a + \left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right).\sin a\\ &= 2\sin a{\cos ^2}a + \sin a - 2{\sin ^3}a\\ &= 2\sin a\left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) + \sin a - 2{\sin ^3}a\\ &= 2\sin a - 2{\sin ^3}a + \sin a - 2{\sin ^3}a\\ &= - 4{\sin ^3}a + 3\sin a \end{array}$

Jadi, diperoleh $\sin 3a = - 4{\sin ^3}a + 3\sin a$.

$\begin{array}{l} \cos 3a &= \cos \left( {2a + a} \right)\\ &= \cos 2a\cos a - \sin 2a\sin a\\ &= \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)\cos a - \left( {2\sin a\cos a} \right)\sin a\\ &= 2{\cos ^3}a - \cos a - 2{\sin ^2}a\cos a\\ &= 2{\cos ^3}a - \cos a - 2\left( {1 - {{\cos }^2}a} \right)\cos a\\ &= 2{\cos ^3}a - \cos a - 2\cos a + 2{\cos ^3}a\\ &= 4{\cos ^3}a - 3\cos a \end{array}$

Jadi, diperoleh $\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a$.

$\begin{array}{l} \tan 3a &= \tan \left( {2a + a} \right)\\ &= \frac{{\tan 2a + \tan a}}{{1 - \tan 2a\tan a}}\\ &= \frac{{\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} + \tan a}}{{1 - \left( {\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}} \right)\tan a}}\\ &= \frac{{\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} + \frac{{\tan a\left( {1 - {{\tan }^2}a} \right)}}{{1 - {{\tan }^2}a}}}}{{\frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} - \frac{{2{{\tan }^2}a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}}}\\ &= \frac{{2\tan a + \tan a\left( {1 - {{\tan }^2}a} \right)}}{{1 - {{\tan }^2}a - 2{{\tan }^2}a}}\\ &= \frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}} \end{array}$

Jadi, diperoleh $\tan 3a = \frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}$.

Rumus $\sin \frac{1}{2}a$, $\cos \frac{1}{2}a$, dan $\tan \frac{1}{2}a$

Rumus $\sin \frac{1}{2}a$

Perhatikan kembali rumus untuk $\cos 2a$.

$\begin{array}{l} \cos 2\alpha &= 1 - 2{\sin ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha &= 1 - \cos 2\alpha \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha &= \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha &= \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}} \end{array}$

Dengan mengganti atau mensubstitusikan nilai $\alpha = \frac{1}{2}a$ ke persamaan di atas, diperoleh:

$\sin \frac{1}{2}a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos a}}{2}} $

Jadi, rumus untuk $\sin \frac{1}{2}a$ adalah:

\[\boxed{\sin \frac{1}{2}a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos a}}{2}} }\]

Rumus $\cos \frac{1}{2}a$

Perhatikan kembali rumus untuk $\cos 2a$.

$\begin{array}{l} \cos 2\alpha &= 2{\cos ^2}\alpha - 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\alpha &= 1 + \cos 2\alpha \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha &= \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \alpha &= \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}} \end{array}$

Dengan mengganti atau mensubstitusikan nilai $\alpha = \frac{1}{2}a$ ke persamaan di atas, diperoleh:

$\cos \frac{1}{2}a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos a}}{2}} $

Jadi, rumus untuk $\cos \frac{1}{2}a$ adalah:

\[\boxed{\cos \frac{1}{2}a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos a}}{2}} }\]

Rumus $\tan \frac{1}{2}a$

Dengan mensubstitusikan rumus $\sin \frac{1}{2}a$ dan rumus $\cos \frac{1}{2}a$ yang telah diperoleh sebelumnya pada $\tan \frac{1}{2}a = \frac{{\sin \frac{1}{2}a}}{{\cos \frac{1}{2}a}}$ yaitu:

\[\boxed{\tan \frac{1}{2}a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos a}}{{1 + \cos a}}} }\]

Rumus $\tan \frac{1}{2}a$ di atas dapat diubah dalam bentuk lain dengan cara mengubah bagian pembilang dan penyebut sebagai berikut.

\[\boxed{\tan \frac{1}{2}a = \frac{{\sin a}}{{1 + \cos a}}}\]

atau

\[\boxed{\tan \frac{1}{2}a = \frac{{1 - \cos a}}{{\sin a}}}\]

Contoh 3

Dengan menggunakan rumus $\sin \frac{1}{2}a$, $\cos \frac{1}{2}a$, atau $\tan \frac{1}{2}a$, hitunglah nilai eksak dari setiap bentuk berikut.

1. $\sin \frac{\pi }{{12}}$
2. $\cos {15^ \circ }$
3. $\tan 7{\frac{1}{2}^ \circ }$

Jawab

1. $\sin \frac{\pi }{{12}}$ dapat dihitung sebagai berikut:
$\begin{array}{l} \sin \frac{\pi }{{12}} &= \sqrt {\frac{{1 - \cos \frac{\pi }{6}}}{2}} \\ &= \sqrt {\frac{{1 - \frac{1}{2}\sqrt 3 }}{2}} \\ &= \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 3 } \end{array}$

Jadi, nilai eksak dari $\sin \frac{\pi }{{12}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 3 } $.

2. $\cos {15^ \circ }$ dapat dihitung sebagai berikut:
$\begin{array}{l} \cos {15^ \circ } &= \sqrt {\frac{{1 + \cos {{30}^ \circ }}}{2}} \\ &= \sqrt {\frac{{1 + \frac{1}{2}\sqrt 3 }}{2}} \\ &= \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } \end{array}$

Jadi, nilai eksak dari $\cos {15^ \circ } = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } $.

3. $\tan 7{\frac{1}{2}^ \circ }$ dapat dihitung sebagai berikut:
$\begin{array}{l} \tan 7{\frac{1}{2}^ \circ } &= \sqrt {\frac{{1 - \cos {{15}^ \circ }}}{{1 + \cos {{15}^ \circ }}}} \\ &= \sqrt {\frac{{1 - \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{1 + \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}} \\ &= \sqrt {\frac{{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}} \\ &= \sqrt {\frac{{\frac{{2 - \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}}}{{\frac{{2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}}}} \\ &= \sqrt {\frac{{2 - \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}} \end{array}$

Jadi, nilai eksak dari $\tan 7{\frac{1}{2}^ \circ } = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}} $.