Ukuran Pemusatan Data

Rata-rata/rerata/rataan/mean, median, dan modus memberikan gambaran pemusatan nilai-nilai dari suatu kumpulan data yang telah diamati. Oleh karena itu, rata-rata/rerata/rataan/mean, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan data atau ukuran tendensi sentral.

Menentukan Rataan atau Rerata

Data Tunggal

Rata-rata/rerata/rataan (mean) dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak datum. Dengan demikian

\[\boxed{Rataan = \frac{{\text{jumlah semua nilai datum yang diamati}}}{{\text{banyak datum yang diamati}}}}\]

Secara umum:

Jika suatu data terdiri atas nilai-nilai ${x_1},{x_2},{x_3}, \cdots ,{x_n}$, maka rata-rata/rerata/rataan/mean dari data itu ditentukan dengan rumus berikut.

\[\begin{array}{l} \boxed{\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + \cdots + {x_n}}}{n}}\\ atau\\ \boxed{\overline x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}} \end{array}\]

Keterangan:

$\overline x $ : rata-rata/rerata/rataan/mean dari suatu data. $n$ : banyak datum yang diamati, disebut ukuran data ${{x_i}}$ : nilai datum yang ke-$i$

Contoh 1

hitunglah rata-rata/rerata/rataan/mean dari data $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $10$, $10$, $10$

Jawab

Jumlah rataan dari data yang diamati adalah

$\sum\limits_{i = 1}^8 {{x_i}} = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + 10 + 10 = 60$

Banyak nilai datum dari data yang diamati adalah $n=8$.

$\overline x = \frac{1}{8}\sum\limits_{i = 1}^8 {{x_i}} = \frac{1}{8}.60 = 7,5$

Jadi, Rata-rata/rerata/rataan/mean dari data itu adalah $\overline x = 7,5$.

Contoh 2

Rerata nilai ujian Bahasa Indonesia dari $34$ orang siswa adalah $49$. Jika nilai seorang siswa yang bernama Ali digabungkan dengan kelompok tadi, nilai rerata yang sekarang menjadi $50$. Berapakah nilai ujian Bahasa Indonesia yang diperoleh Ali?

Jawab

Rerata nilai ujian Bahasa Indonesia dari $34$ orang siswa adalah $49$. Ungkapan itu bisa ditulis sebagai

$\begin{array}{l} \frac{1}{{34}}\sum\limits_{i = 1}^{34} {{x_i} = 49} \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^{34} {{x_i} = 34 \times 49} \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^{34} {{x_i} = 1.666} \end{array}$

Misalkan nilai ujian Bahasa Indonesia yang diperoleh Ali adalah ${{x_a}}$. Setelah nilai digabungkan reratanya menjadi $50$, sehingga diperoleh persamaan:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{35}}\left( {{x_a} + \sum\limits_{i = 1}^{34} {{x_i}} } \right) &= 50\\ \Leftrightarrow {x_a} + \sum\limits_{i = 1}^{34} {{x_i}} &= 35 \times 50\\ \Leftrightarrow {x_a} + 1.666 &= 1.750\\ \Leftrightarrow {x_a} &= 1.750 - 1.666\\ \Leftrightarrow {x_a} &= 84 \end{array}$

Jadi, nilai ujian Bahasa Indonesia yang diperoleh Ali adalah $84$.

Data Kelompok

Rerata data kelompok dapat ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}.{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}} }}}\]

Keterangan:

• ${f_i}$ menyatakan frekuensi untuk nilai datum ${x_i}$
• $\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}} = n$ menyatakan ukuran data
• Untuk data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, maka ${x_i}$ menyatakan titik tengah kelas ke-$i$ dan $r$ menyatakan banyak kelas.

Contoh 3

Tentukan rerata dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$	Titik Tengah $\left( {{x_i}} \right)$	${f_i}.{x_i}$
$119-127$	$3$	$123$	$369$
$128-136$	$6$	$132$	$792$
$137-145$	$10$	$141$	$1.410$
$146-154$	$11$	$150$	$1.650$
$155-163$	$5$	$159$	$795$
$164-172$	$3$	$168$	$504$
$173-181$	$2$	$177$	$354$
		$\sum {{f_i} = n = 40} $	$\sum {{f_i}.{x_i} = 5.874} $

Berdasarkan tabel di atas, diperoleh $\sum {{f_i} = n = 40} $ dan $\sum {{f_i}.{x_i} = 5.874} $. Jadi, rataan dari data di atas adalah:

$\overline x = \frac{{\sum {{f_i}.{x_i}} }}{{\sum {{f_i}} }} = \frac{{5.874}}{{40}} = 146,85$

Menentukan Median

Data Tunggal

Median adalah sebuah nilai datum yang berada di tengah-tengah, dengan catatan data telah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Jika nilai-nilai dalam suatu data telah diurutkan, maka median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Jika ukuran data $n$ ganjil, maka mediannya adalah nilai datum yang ditengah atau nilai datum yang ke-$\frac{{n + 1}}{2}$. Ditulis:
\[\boxed{Median = {x_{\frac{{n + 1}}{2}}}}\]
2. Jika ukuran data $n$ genap, maka mediannya adalah rerata dari dua nilai dari datum yang di tengah atau rerata dari nilai datum ke-$\frac{n}{2}$ dan nilai datum ke-$\left( {\frac{n}{2} + 1} \right)$. Ditulis:
\[\boxed{Median = \frac{1}{2}\left( {{x_{\frac{n}{2}}} + {x_{\frac{n}{2} + 1}}} \right)}\]

Contoh 4

Tentukan median dari setiap data berikut ini:

1. $4$, $5$, $7$, $9$, $10$
2. $12$, $11$, $7$, $8$, $6$, $13$, $9$, $10$,

Jawab

1. Dalam bentuk bagan, median dari data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:
$\begin{array}{*{20}{c}} 4&5&\boxed{7}&9&{10}\\ \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ {{x_1}}&{{x_2}}&\boxed{{{x_3}}}&{{x_4}}&{{x_5}} \end{array}$

Datum yang ditengah. Median = ${{x_3}}$ = $7$.

2. Dalam bentuk bagan, median dari data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:
$\begin{array}{*{20}{c}} 6&7&8&\boxed{9}& \bullet &\boxed{10}&{11}&{12}&{13}\\ \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow &{}& \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&\boxed{{{x_4}}}&{}&\boxed{{{x_5}}}&{{x_6}}&{{x_7}}&{{x_8}} \end{array}$

Dari bagan di atas diperoleh:

$\begin{array}{l} Median &= \frac{1}{2}\left( {{x_4} + {x_5}} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {9 + 10} \right)\\ &= 9,5 \end{array}$

Data Kelompok

Nilai Median dari data kelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

\[\boxed{Me = {L_2} + \left( {\frac{{\frac{1}{2}n - {{\left( {\sum f } \right)}_2}}}{{{f_2}}}} \right)c}\]

dengan :

• ${L_2}$ = tepi bawah kelas yang memuat median
• ${{{\left( {\sum f } \right)}_2}}$ = jumlah frekuensi sebelum median
• ${{f_2}}$ = frekuensi kelas yang memuat median
• $c$ = panjang kelas

Contoh 5

Tentukan median dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

Dari tabel di atas diketahui

• $n=40$
• ${L_2} = 146 - 0,5 = 145,5$
• ${\left( {\sum f } \right)_2} = 3 + 6 + 10 = 19$
• ${f_2} = 9$
• $c=9$

Jadi, median dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok di atas adalah

$\begin{array}{l} Me &= {L_2} + \left( {\frac{{\frac{1}{2}n - {{\left( {\sum f } \right)}_2}}}{{{f_2}}}} \right)c\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{\frac{1}{2}.40 - 19}}{9}} \right)9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{20 - 19}}{9}} \right)9\\ &= 145,5 + 1\\ &= 146,5 \end{array}$

Menentukan Modus

Data Tunggal

Selain rerata dan median dikenal pula ukuran pemusatan data yang lain, yaitu modus. Modus dari suatu data yang disajikan dalam bentuk statistik jajaran ditentukan sebagai nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.

Contoh 6

1. Suatu data $3$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$, $6$, $6$, $6$, $7$, $7$, $8$ mempunyai modul $6$. Sebab nilai datum $6$ paling sering muncul yaitu sebanyak $3$ kali.
2. Suatu data $4$, $5$, $6$, $7$, $7$, $8$, $8$, $9$, $10$ mempunyai modul $7$ dan $8$. Sebab nilai datum $7$ dan $8$ paling sering muncul yaitu sebanyak $2$ kali.
3. Suatu data $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$, $12$ tidak mempunyai modus. Sebab data ini tidak memiliki datum yang paling sering muncul.

Dari contoh di atas tampak bahwa :

1. ada data yang hanya memiliki satu modus disebut unimodal, mempunyai dua modus disebut bimodal, dan mempunyai lebih dari dua modus disebut multimodal.
2. ada data yang sama sekali tidak memiliki modus.

Dengan demikian, nilai modus kurang dapat dipercaya sebagai ukuran pemusatan data bagi data yang berukuran kecil. Modus hanya berguna sebagai ukuran pemusatan data untuk data yaang berukuran besar.

Data Kelompok

LAngkah-langkah untuk menentukan modus dari data berkelompok adalah sebagai berikut:

1. Tentukan kelas modus, yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbesar. Kemudian tentukan tepi bawah dan tepi atas kelas modus tersebut.
2. Hitung panjang kelas modus.
3. Hitunglah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya dan selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
4. Hitung modus dengan rumus berikut ini.
\[\boxed{Mo = L + \left( {\frac{{{\delta _1}}}{{{\delta _1} + {\delta _2}}}} \right)c}\]

dengan :

• $L$ = tepi bawah kelas modus
• ${{\delta _1}}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
• ${{\delta _2}}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
• $c$ = panjang kelas

Contoh 7

Tentukan modus dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

Dari tabel di atas diketahui

• $L = 146 - 0,5 = 145,5$
• ${\delta _1} = 11 - 10 = 1$
• ${\delta _2} = 11 - 5 = 6$
• $c=9$

Modus dari data di atas dapat ditentukan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} Mo &= L + \left( {\frac{{{\delta _1}}}{{{\delta _1} + {\delta _2}}}} \right)c\\ &= 145,5 + \left( {\frac{1}{{1 + 6}}} \right)9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{1}{7}} \right)9\\ &= 145,5 + 1,29\\ &= 146,79 \end{array}$

Jadi, modus data di atas adalah $146,79$.