Vektor Ditinjau dari Sudut Pandang Aljabar

Vektor di Bidang Ditinjau dari Sudut Pandang Aljabar

Dari sudut pandang aljabar, suatu vektor dinyatakan sebagai pasangan terarah dari dua bilangan real. Bertolak dari itu, vektor di bidang berkaitan dengan sistem koordinat dalam bidang yang dikenal sebagai sistem koordinat Cartesius.

Vektor basis dalam bidang

untuk menyatakan suatu vektor di bidang sebagai pasangan terurut dua bilangan real, diperlukan pemahaman konsep vektor-vektor basis dalam bidang. Misalkan $\widehat i$ dan $\widehat j$ adalah vektor-vektor dalam panjang satu satuan, vektor $\widehat i$ berimpit dengan sumbu $X$ positif dan vektor $\widehat j$ berimpit dengan sumbu $Y$ positif. Jelas bahwa vektor $\widehat i$ dan vektor $\widehat j$ tidak terletak pada sebuah garis yang sama, sehingga kedua vektor itu dikatakan tak kolinear.

Dengan demikian, setiap vektor $\overrightarrow r $ yang terletak pada bidang Cartesius selalu dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari vektor $\widehat i$ dan vektor $\widehat j$. Jika titik $O\left( {0,0} \right)$ bertindak sebagai titik pangkal dan titik $P\left( {x,y} \right)$ betindak sebagai titik ujung, maka ruas garis berarah $\overrightarrow {OP} $ sebagai wakil dari vektor $\overrightarrow r $ dapat dinyatakan sebagai $\overrightarrow r = x\widehat i + y\widehat j$. Ketika suatu vektor dinyatakan sebagai $\overrightarrow r = x\widehat i + y\widehat j$, ada beberapa istilah yang perlu dipahami, diantaranya sebagai berikut:

• Bilangan-bilangan $x$ dan $y$ disebut sebagai komponen-komponen vektor $\overrightarrow r $, dan bilangan-bilangan itu berpadanan dengan koordinat titik $P\left( {x,y} \right)$.
• Vektor-vektor $\widehat i$ dan $\widehat j$ disebut sebagai vektor basis di bidang atau di $R2$ dalam arah sumbu $X$ positif dan sumbu $Y$ positif. Panjang vektor $\widehat i$ dan vektor $\widehat j$ masing-masing sama dengan satu satuan, sehingga vektor $\widehat i$ disebut vektor satuan dalam arah sumbu $X$ dan vektor $\widehat j$ disebut vektor satuan dalam arah sumbu $Y$.
• Untuk menyingkat cara penulisan, vektor $\overrightarrow r = x\widehat i + y\widehat j$ dapat dinyatakan dalam bentuk vektor baris sebagai $\overrightarrow r = \left( {x,y} \right)$, atau vektor kolom sebagai $\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)$.

Bagi vektor-vektor yang titik pangkalnya tidak di titik asal $O$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan penjumlahan vektor. Misalkan garis berarah $\overrightarrow {AB} $ sebagai wakil bagi vektor $\overrightarrow p $, sebagaimana diperlihatkan pada gambar di berikut.

Titik $A$ sebagai titik pangkal dengan koordinat $\left( {{x_a},{y_a}} \right)$ dan $B$ sebagai titik ujung dengan koordinat $\left( {{x_b},{y_b}} \right)$ . Dengan menggunakan aturan penjumlahan vektor, maka diperoleh hubungan:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} &= \overrightarrow {OB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} &= \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \end{array}$

Ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ mewakili vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right)$ dan $\overrightarrow {OB} $ mewakili vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right)$, sehingga diperoleh:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b - \overrightarrow a \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right)\\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b} - {x_a}}\\ {{y_b} - {y_a}} \end{array}} \right) \end{array}$

Dengan demikian, vektor dengan titik pangkal di $A\left( {{x_a},{y_a}} \right)$ dan titik ujung di $B\left( {{x_b},{y_b}} \right)$ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b} - {x_a}}\\ {{y_b} - {y_a}} \end{array}} \right)}\]

Contoh 1

Diketahui titik $A\left( {3,6} \right)$ dan titik $B\left( {2,9} \right)$. Ruas garis berarah $\overrightarrow {AB} $ sebagai wakil vektor $\overrightarrow p $ dan ruas garis berarah $\overrightarrow {BA} $ sebagai wakil vektor $\overrightarrow q $. Tentukan vektor $\overrightarrow p $ dan vektor $\overrightarrow q $ dalam bentuk vektor kolom!

Jawab

$\begin{array}{l} A\left( {3,6} \right) &\Rightarrow {x_a} = 3,{y_a} = 6\\ B\left( {2,9} \right) &\Rightarrow {x_b} = 2,{y_b} = 9\\ \overrightarrow p &= \overrightarrow {AB} \\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b} - {x_a}}\\ {{y_b} - {y_a}} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 3}\\ {9 - 6} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow q &= \overrightarrow {BA} \\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} - {x_b}}\\ {{y_a} - {y_b}} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 2}\\ {6 - 9} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 3} \end{array}} \right) \end{array}$

Aljabar vektor dalam bidang

Kesamaan dua vektor di bidang

Definisi : Kesamaan dua vektor di bidang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right)$. Vektor $\overrightarrow a $ = vektor $\overrightarrow b $ jika dan hanya jika ${x_a} = {x_b}$ dan ${y_a} = {y_b}$.

Penjumlahan dua vektor di bidang

Definisi : Penjumlahan dua vektor di bidang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right)$. Jika vektor $\overrightarrow c $ adalah jumlah vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $, maka vektor $\overrightarrow c $ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} + {x_b}}\\ {{y_a} + {y_b}} \end{array}} \right)}\]

Pengurangan dua vektor di bidang

Definisi : Pengurangan dua vektor di bidang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right)$. Jika vektor $\overrightarrow c $ adalah pengurangan vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b $, maka vektor $\overrightarrow c $ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} - {x_b}}\\ {{y_a} - {y_b}} \end{array}} \right)}\]

Hasil kali skalar dengan vektor di bidang

Definisi : Hasil kali skalar dengan vektor di bidang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right)$ dan skalar $m$. Hasil kali skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow a $, ditulis sebagai $\overrightarrow c = m\overrightarrow a $ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow c = m\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m{x_a}}\\ {m{y_a}} \end{array}} \right)}\]

Contoh 2

Diketahui titik $A\left( {1,7} \right)$ dan titik $B\left( {4,1} \right)$. Titik $C$ adalah sebuah titik pada garis $AB$ sehingga $\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $.

1. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah $\overrightarrow {AB} $.
2. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah $\overrightarrow {AC} $.
3. Tentukan koordinat titik $C$

Jawab:

1. Koordinat titik $A\left( {1,7} \right)$, maka $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right)$.

Koordinat titik $B\left( {4,1} \right)$, maka $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right)$.

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} &= \overrightarrow b - \overrightarrow a \\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 1}\\ {1 - 7} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 6} \end{array}} \right) \end{array}$

Jadi, ruas garis berarah $\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 6} \end{array}} \right)$.

2. $\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 6} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2} \end{array}} \right)$

Jadi, ruas garis berarah $\overrightarrow {AC} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2} \end{array}} \right)$.

3. Misalkan koordinat titik $C$ adalah $\left( {x,y} \right)$, maka $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)$.
$\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} &= \overrightarrow c - \overrightarrow a \\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1}\\ {y - 7} \end{array}} \right) \end{array}$

Dengan menggunakan hasil perhitungan $b$, diperoleh hubungan :

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1}\\ {y - 7} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2} \end{array}} \right)$

Berdasarkan hubungan di atas, diperoleh: $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$, $y - 7 = - 2 \Rightarrow y = 5$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $\left( {2,5} \right)$.

Panjang vektor dalam bidang

Misalkan $R$ adalah sebuah titik di bidang dengan koordinat $\left( {x,y} \right)$. Ruas garis berarah $\overrightarrow {OR} $ mewakili vektor $\overrightarrow r $, sehingga vektor $\overrightarrow r $ dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom sebagai $\vec r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)$. Berdasarkan gambar berikut, panjang vektor $\overrightarrow r $ ialah panjang ruas garis $OR$. Panjang garis $OR$ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai berikut:

$\begin{array}{l} O{R^2} &= O{A^2} + O{B^2}\\ \Leftrightarrow O{R^2} &= {x^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow OR &= \sqrt {{x^2} + {y^2}} \end{array}$

Misalkan $\overrightarrow r $ adalah vektor di bidang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom $\vec r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)$. Panjang atau besar vektor $\overrightarrow r $ ditentukan dengan rumus $\boxed{\left| {\vec r} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} }$. $\left| {\vec r} \right|$ dibaca sebagai panjang vektor $\overrightarrow r $.

Contoh 3

Diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3} \end{array}} \right)$, vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array}} \right)$, dan vektor $\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 4 \end{array}} \right)$. Tentukan:

1. $\left| {\overrightarrow c } \right|$
2. $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$

Jawab

1. $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 $

Jadi panjang vektor $\overrightarrow c $ adalah $\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\sqrt 5 $ satuan panjang.

2. $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 4} \end{array}} \right)$
$\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {25} = 5$

Jadi panjang vektor $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ adalah $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 5$ satuan panjang.

Vektor satuan dalam bidang

Misalkan vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)$. Vektor satuan dari $\overrightarrow a $ ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\widehat e = \frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\overrightarrow a }}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)}\]

Vektor di Ruang Ditinjau dari Sudut Pandang Aljabar

Dari sudut pandang aljabar, suatu vektor dinyatakan sebagai pasangan terarah dari tiga bilangan real. Bertolak dari itu, vektor di ruang berkaitan dengan sistem koordinat dalam ruang yang menggunakan tiga sumbu koordinat yaitu sumbu $X$, sumbu $Y$, dan sumbu $Z$.

Vektor basis dalam ruang

Misalkan $\widehat i $, $\widehat j $, dan $\widehat k $ adalah vektor-vektor dengan panjang satu satuan. Vektor $\widehat i $ berimpit dengan sumbu $X$ positif, vektor $\widehat j $ berimpit dengan sumbu $Y$ positif, dan vektor $\widehat k $ berimpit dengan sumbu $Z$ positif. Vektor-vektor $\widehat i $, $\widehat j $, dan $\widehat k $ tidak terletak pada satu bidang yang sama sehingga ketiga vektor itu dikatakan tak-koplanar.

Setiap vektor $\overrightarrow r $ yang terletak pada ruang dimensi tiga atau $R-3$ selalu dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari vektor $\widehat i $, vektor $\widehat j $, dan vektor $\widehat k $. Jika titik $O\left( {0,0,0} \right)$ bertindak sebagai pangkal dan titik $P\left( {x,y,z} \right)$ bertindak sebagai titik ujung, maka ruas garis berarah $\overrightarrow {OP} $ sebagai wakil bagi vektor $\overrightarrow r $ dapat dinyatakan sebagai $\overrightarrow r = x\widehat i + y\widehat j + z\widehat k$. Ungkapan ini divisualisasikan pada gambar di atas. Beberapa istilah yang perlu dipahami bagi vektor yang dinyatakan sebagai bentuk $\overrightarrow r = x\widehat i + y\widehat j + z\widehat k$, di antaranya adalah:

• Bilangan-bilangan $x$, $y$, dan $z$ disebut sebagai komponen-komponen vektor $\overrightarrow r $, dan bilangan-bilangan itu berpadanan dengan koordinat ruang dari titik $P\left( {x,y,z} \right)$.
• Vektor-vektor $\widehat i $, $\widehat j $, dan $\widehat k $ disebut sebagai vektor basis di ruang atau di $R-3$, masing-masing dalam arah sumbu $X$ positif,sumbu $Y$ positif, dan sumbu $Z$ positif. Vektor $\widehat i $ disebut vektor satuan dalam arah sumbu $X$, vektor $\widehat j $ disebut vektor satuan dalam arah sumbu $Y$, dan vektor $\widehat k $ disebut vektor satuan dalam arah sumbu $Z$.
• Untuk menyingkat cara penulisan, vektor $\overrightarrow r = x\widehat i + y\widehat j + z\widehat k$ dapat dinyatakan dalam bentuk:
• vektor baris sebagai $\overrightarrow r = \left( {x,y,z} \right)$.
• vektor kolom sebagai $\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)$

Bagi vektor-vektor di ruang yang titik tangkapnya tidak di $O\left( {0,0,0} \right)$, maka vektor-vektor semacam itu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Vektor dengan titik tangkap/pangkal $A\left( {{x_a},{y_a},{z_a}} \right)$ dan titik ujung $B\left( {{x_b},{y_b},{z_b}} \right)$ ditentukan oleh:

\[\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b} - {x_a}}\\ {{y_b} - {y_a}}\\ {{z_b} - {z_a}} \end{array}} \right)\]

Aljabar vektor dalam ruang

Kesamaan dua vektor di ruang

Definisi : Kesamaan dua vektor di ruang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}}\\ {{z_b}} \end{array}} \right)$. Vektor $\overrightarrow a $ = vektor $\overrightarrow b $ jika dan hanya jika ${x_a} = {x_b}$, ${y_a} = {y_b}$, dan ${z_a} = {z_b}$.

Penjumlahan dua vektor di ruang

Definisi : Penjumlahan dua vektor di ruang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}}\\ {{z_b}} \end{array}} \right)$. Jika vektor $\overrightarrow c $ adalah jumlah vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $, maka vektor $\overrightarrow c $ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}}\\ {{z_b}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} + {x_b}}\\ {{y_a} + {y_b}}\\ {{z_a} + {z_b}} \end{array}} \right)}\]

Pengurangan dua vektor di ruang

Definisi : Pengurangan dua vektor di ruang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}}\\ {{z_b}} \end{array}} \right)$. Jika vektor $\overrightarrow c $ adalah pengurangan vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ atau $\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b $, maka vektor $\overrightarrow c $ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_b}}\\ {{y_b}}\\ {{z_b}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} - {x_b}}\\ {{y_a} - {y_b}}\\ {{z_a} - {z_b}} \end{array}} \right)}\]

Hasil kali skalar dengan vektor di ruang

Definisi : Hasil kali skalar dengan vektor di ruang

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right)$ dan skalar $m$. Hasil kali skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow a $, ditulis sebagai $\overrightarrow c = m\overrightarrow a $ ditentukan oleh:

\[\boxed{\overrightarrow c = m\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a}}\\ {{y_a}}\\ {{z_a}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m{x_a}}\\ {m{y_a}}\\ {m{z_a}} \end{array}} \right)}\]

Contoh 4

Diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2\\ { - 1} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {-3}\\ 4 \end{array}} \right)$.

1. Tentukan $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ dan $\overrightarrow b + \overrightarrow a $
2. Periksalah apakah $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a $

Jawab

$\begin{array}{l} \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2\\ { - 1} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1}\\ 3 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow b + \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 4 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2\\ { - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1}\\ 3 \end{array}} \right) \end{array}$
2. Dengan memperhatikan jawaban $a$, diperoleh $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a $.

Panjang vektor dalam ruang

Misalkan $\overrightarrow r $ adalah vektor di ruang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom $\vec r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)$. Panjang atau besar vektor $\overrightarrow r $ ditentukan dengan rumus $\boxed{\left| {\vec r} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}+{z^2}} }$. $\left| {\vec r} \right|$ dibaca sebagai panjang vektor $\overrightarrow r $.

Vektor satuan dalam ruang

Misalkan vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)$. Vektor satuan dari $\overrightarrow a $ ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\widehat e = \frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\overrightarrow a }}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)}\]