Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Home / aljabar / aritmatika

Hasil Kali Skalar Dua Vektor

By nurhamim86 Post a Comment

Definisi Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Misalkan diketahui dua vektor sembarang (vektor di bidang atau di ruang), yaitu vektor $\overrightarrow a $ dan $\overrightarrow b $. Hasil kali skalar antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ ditulis dengan notasi $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $ (dibaca: $a$ kali titik $b$). Hasil kali skalar vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ ditentukan oleh rumus sebagai berikut:

\[\boxed{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta }\]

dengan:

  • $\left| {\overrightarrow a } \right|$ dan $\left| {\overrightarrow b } \right|$ berturut-turut menyatakan panjang vektor $\overrightarrow a $ dan panjang vektor $\overrightarrow b $.
  • $\theta $ menyatakan besar sudut lancip yang dibentuk oleh vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $. Sudut $\theta $ seringkali dilambangkan sebagai $\angle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut

Definisi : Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $.

Hasil kali vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ ditentukan oleh hasil kali panjang vektor $\overrightarrow a $, panjang vektor $\overrightarrow b $, dan kosinus sudut terkecil antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $. Ditulis: \[\boxed{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta }\]

Contoh 1

Panjang vektor $\overrightarrow a $ dan panjang vektor $\overrightarrow b $ masing-masing adalah $5$ satuan dan $6$ satuan. Besar sudut antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ sama dengan ${60^ \circ }$. Hitunglah hasil kali skalar antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $.

Jawab

$\begin{array}{l} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta \\ &= 5 \times 6 \times \cos {60^ \circ }\\ &= 30 \times \frac{1}{2}\\ &= 15 \end{array}$

Jadi, diperoleh $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 15$.

Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Vektor Kolom

Hasil Kali Skalar Dua Vektor di Bidang

Misalkan $\overrightarrow a $ dan $\overrightarrow b $ adalah vektor-vektor di bidang. Vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right)$ masing-masing diwakili oleh ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ dan garis berarah $\overrightarrow {OB} $, sebagaimana diperlihatkan gambar berikut ini.

Berdasarkan rumus panjang vektor dalam bidang, dapat ditentukan bahwa:

$\begin{array}{l} {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = x_1^2 + y_1^2\\ {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = x_1^2 + y_1^2\\ {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} \end{array}$

Selanjutnya dengan menerapkan aturan cosinus pada $\Delta OAB$, maka diperoleh hubungan:

$\begin{array}{l} {\left( {AB} \right)^2} = {\left( {OA} \right)^2} + {\left( {OB} \right)^2} - 2\left( {OA} \right)\left( {OB} \right)\cos \theta \\ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} - 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} = \left( {x_1^2 + y_1^2} \right) + \left( {x_2^2 + y_2^2} \right) - 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow \left( {x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + x_1^2} \right) + \left( {y_2^2 - 2{y_1}{y_2} + y_1^2} \right) = \left( {x_1^2 + y_1^2} \right) + \left( {x_2^2 + y_2^2} \right) - 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow \cancel{{x_2^2 + x_1^2}} + \cancel{{y_2^2 + y_1^2}} - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = \cancel{{\left( {x_1^2 + y_1^2} \right)}} + \cancel{{\left( {x_2^2 + y_2^2} \right)}} - 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = - 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2}}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta }}{{ - 2}}\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right|\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \theta = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} \end{array}$

Dengan demikian, hasil kali skalar dua vektor di bidang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Misalkan diketahui $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right)$. Hasil kali skalar vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}\]

Contoh 2

Diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)$ dan $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 2} \end{array}} \right)$.

  1. Hitunglah $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $
  2. Hitunglah $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a $

Jawab

  1. $\begin{array}{l} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= 3.4 + \left( { - 5} \right)\left( { - 2} \right)\\ &= 12 + 10\\ &= 22 \end{array}$
  2. $\begin{array}{l} \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a &= 4.3 + \left( { - 2} \right)\left( { - 5} \right)\\ &= 12 + 10\\ &= 22 \end{array}$

Hasil Kali Skalar Dua Vektor di Ruang

Rumus hasil kali skalar dua vektor di ruang dapat diturunkan dengan menggunakan cara yang sama dengan rumus hasil kali skalar dua vektor di bidang.

Definisi : Hasil kali skalar dua vektor di ruang

Misalkan diketahui $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}}\\ {{z_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}}\\ {{z_2}} \end{array}} \right)$. Hasil kali skalar vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $ ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}\]

Contoh 3

Diketahui vektor $\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 5\\ { - 1} \end{array}} \right)$ dan $\overrightarrow q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)$.

  1. Hitunglah $\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q $
  2. Hitunglah $\overrightarrow q \cdot \overrightarrow p $

Jawab

  1. $\begin{array}{l} \overrightarrow p \cdot \overrightarrow q &= 7.6 + 5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right).3\\ &= 42 + \left( { - 10} \right) + \left( { - 3} \right)\\ &= 42 - 10 - 3\\ &=29 \end{array}$
  2. $\begin{array}{l} \overrightarrow q \cdot \overrightarrow p &= 6.7 + \left( { - 2} \right).5 + 3.\left( { - 1} \right)\\ &= 42 + \left( { - 10} \right) + \left( { - 3} \right)\\ &= 42 - 10 - 3\\ &=29 \end{array}$

Tanda Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Tanda-tanda hasil kali skalar $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $ dapat dijelaskan dalam paparan berikut ini.

  1. Jika $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b > 0$, maka $\cos \theta > 0$ atau ${0^ \circ } < \theta < {90^ \circ }$. Dalam hal demikian, dikatakan vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ membentuk sudut lancip.
  2. Jika $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$, maka $\cos \theta = 0$ atau $\theta = {90^ \circ }$. Dalam hal demikian, dikatakan vektor $\overrightarrow a $ tegak lurus terhadap vektor $\overrightarrow b $ atau vektor $\overrightarrow a $ ortogonal terhadap vektor $\overrightarrow b $.
  3. Jika $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b < 0$, maka $\cos \theta < 0$ atau ${90^ \circ } < \theta < {180^ \circ }$. Dalam hal demikian, dikatakan vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ membentuk sudut tumpul.
  4. Jika $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$, maka $\cos \theta = 1$ atau $\theta = {0^ \circ }$. Dalam hal demikian, dikatakan vektor $\overrightarrow a $ berimpit terhadap vektor $\overrightarrow b $.
  5. Jika $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$, maka $\cos \theta = -1$ atau $\theta = {180^ \circ }$. Dalam hal demikian, dikatakan vektor $\overrightarrow a $ berlawanan arah terhadap vektor $\overrightarrow b $.

Contoh 4

Tentukan tanda-tanda (positif, nol, negatif) hasil kali skalar bagi pasangan-pasangan vektor berikut ini, kemudian periksalah kedudukan pasangan-pasangan vektor itu.

  1. $\overrightarrow a = \widehat i + 2\widehat j + 4\widehat k$ dan $\overrightarrow b = -2\widehat i + 3\widehat j + \widehat k$
  2. $\overrightarrow c = -3\widehat i + 2\widehat j + 4\widehat k$ dan $\overrightarrow d = 4\widehat i + 2\widehat j + 2\widehat k$
  3. $\overrightarrow p = -\widehat i + 2\widehat j + 3\widehat k$ dan $\overrightarrow q = 5\widehat i - \widehat j + \widehat k$

Jawab

  1. $\begin{array}{l} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= 1.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4.1\\ &= - 2 + 6 + 4\\ &= 8\\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= 8 > 0 \end{array}$

    Karena $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b > 0$, maka vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ membentuk sudut lancip.

  2. $\begin{array}{l} \overrightarrow c \cdot \overrightarrow d &= \left( { - 3} \right).4 + 2.2 + 4.2\\ &= - 12 + 4 + 8\\ &= 0\\ \overrightarrow c \cdot \overrightarrow d &= 0 \end{array}$

    Karena $\overrightarrow c \cdot \overrightarrow d = 0$, maka vektor $\overrightarrow c $ tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor $\overrightarrow d $.

  3. $\begin{array}{l} \overrightarrow p \cdot \overrightarrow q &= \left( { - 1} \right).5 + 2.\left( { - 1} \right) + 3.1\\ &= - 5 + \left( { - 2} \right) + 3\\ &= - 4\\ \overrightarrow p \cdot \overrightarrow q &= - 4 < 0 \end{array}$

    Karena $\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q < 0$, maka vektor $\overrightarrow p $ dan vektor $\overrightarrow q $ membentuk sudut tumpul.

Teorema Ortogonalitas

Misalkan vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ keduanya bukan vektor nol. Vektor $\overrightarrow a $ tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor $\overrightarrow b $ jika dan hanya jika $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$.

Sifat-Sifat Hasil Kali Skalar Dua Vektor

  1. Sifat Komutatif

    2. Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right)$. Berdasarkan rumus hasil kali skalar dua vektor di bidang, maka diperoleh hubungan:

    $\begin{array}{l} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right) = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\ \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right) = {x_2}{x_1} + {y_2}{y_1} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} \end{array}$

    Berdasarkan perhitungan di atas, jelas bahwa $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a $. Hubungan ini menunjukkan bahwa hasil kali skalar dua vektor di bidang bersifat komutatif. Dengan menggunakan cara yang sama, dapat pula ditunjukkan bahwa hasil kali skalar dua vektor di ruang juga bersifat komutatif.

  2. Sifat Distributif

    3. Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right)$, vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right)$. Akan diperlihatkan berlakunya sifat distributif berikut ini:

    $\begin{array}{l} \overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} + {x_3}}\\ {{y_2} + {y_3}} \end{array}} \right)\\ &= {x_1}\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\\ &= {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {y_1}{y_2} + {y_1}{y_3}\\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right)\\ &= {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {x_1}{x_3} + {y_1}{y_3} \end{array}$

    Berdasarkan hubungan di atas, jelas bahwa $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c $. Hubungan ini menunjukkan bahwa hasil kali skalar dua vektor di bidang bersifat distributif kiri.

    $\begin{array}{l} \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2}}\\ {{y_1} + {y_2}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right)\\ &= \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_3} + \left( {{y_1} + {y_2}} \right){y_3}\\ &= {x_1}{x_3} + {x_2}{x_3} + {y_1}{y_3} + {y_2}{y_3}\\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right)\\ &= {x_1}{x_3} + {y_1}{y_3} + {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3} \end{array}$

    Berdasarkan hubungan di atas, jelas bahwa $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c $. Hubungan ini menunjukkan bahwa hasil kali skalar dua vektor di bidang bersifat distributif kanan.

    Dengan menggunakan cara yang sama, dapat pula ditunjukkan bahwa hasil kali skalar dua vektor di ruang juga bersifat distributif kiri dan distributif kanan.

Sifat-sifat yang tidak berlaku pada hasil kali skalar dua vektor

Fakta menunjukkan bahwa hasil kali skalar dua vektor tidak memenuhi sifat-sifat yang berlaku pada hasil kali dua bilangan real. Fakta ini dapat dijelaskan melalui paparan sederhana sebagai berikut:

  1. Tidak tertutup

    2. Untuk setiap sembarang vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $ adalah suatu besaran skalar (bukan besaran vektor).

  2. Tidak asosiatif

    3. Untuk sembarang vektor $\overrightarrow a $, vektor $\overrightarrow b $, dan vektor $\overrightarrow c $, $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c } \right)$ maupun $\left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c $ tidak didefinisikan. Jadi, hasil kali skalar dua vektor tidak asosiatif.

  3. Tidak mempunyai elemen identitas

    4. Untuk setiap sembarang vektor $\overrightarrow a $, tidak mungkin ditemukan $\overrightarrow x $ yang bersifat $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow x \cdot \overrightarrow a $. Jadi, hasil kali skalar dua vektor tidak mempunyai elemen identitas.

  4. Tidak mempunyai elemen invers

    5. Untuk setiap sembarang vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $ bukan vektor sehingga tidak mungkin ditemukan invers dari vektor $\overrightarrow a $ maupun invers dari vektor $\overrightarrow b $. Jadi, hasil kali skalar dua vektor tidak mempunyai elemen invers.

Sudut Antara Dua Vektor

Sudut Antara Dua Vektor di Bidang

Misalkan vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right)$ adalah vektor-vektor di bidang yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Sudut antara dua vektor di bidang adalah:

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right)$. Jika $\theta $ menyatakan besar sudut antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $, maka kosinus sudut $\theta $ ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\cos \theta = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}}\]

Sudut Antara Dua Vektor di Ruang

Misalkan vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}}\\ {{z_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}}\\ {{z_2}} \end{array}} \right)$ adalah vektor-vektor di ruang yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Sudut antara dua vektor di ruang adalah:

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}}\\ {{z_1}} \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}}\\ {{z_2}} \end{array}} \right)$. Jika $\theta $ menyatakan besar sudut antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $, maka kosinus sudut $\theta $ ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\cos \theta = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}}\]

Contoh 5

Diketahui vektor $\overrightarrow a = \widehat i + 3\widehat j - 2\widehat k$ dan $\overrightarrow b = 4\widehat i - 2\widehat j + 4\widehat k$.

  1. Hitunglah $\left| {\overrightarrow a } \right|$, $\left| {\overrightarrow b } \right|$, dan $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $.
  2. Tentukan besar sudut antara vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $.

Jawab

  1. $\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a } \right| &= \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \\ &= \sqrt {1 + 9 + 4} \\ &= \sqrt {14} \\ \left| {\overrightarrow b } \right| &= \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} \\ &= \sqrt {16 + 4 + 16} \\ &= \sqrt {36} \\ &= 6\\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b &= 1.4 + 3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).4\\ &= 4 - 6 - 8\\ &= - 10 \end{array}$
  2. Besar sudut antara vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $.
    3. $\begin{array}{l} \cos \theta &= \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ &= \frac{{ - 10}}{{\sqrt {14} \cdot 6}}\\ &= - \frac{5}{{3\sqrt {14} }}\\ \theta &= \arccos \left( { - \frac{5}{{3\sqrt {14} }}} \right)\\ &= {116,45^ \circ } \end{array}$
Previous
Prev Post
Next
Next Post
nurhamim86
nurhamim86 A Mathematics Teacher who also likes the IT world.

Post a Comment for "Hasil Kali Skalar Dua Vektor"

Mohon untuk memberikan komentar yang baik dan membangun