Vektor Proyeksi dan Panjang Proyeksinya

Misalkan ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ dan ruas garis berarah $\overrightarrow {OB} $ masing-masing mewakili vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $. Sudut $\theta $ menyatakan besar sudut antara vektor $\overrightarrow a $ dengan vektor $\overrightarrow b $. Dengan mengacu pada gambar di bawah, proyeksi titik ujung ruas garis berarah $\overrightarrow {OA} $ (yaitu titik $A$) pada ruas garis berarah $\overrightarrow {OB} $ adalah titik $C$, dengan panjang ditentukan oleh:

\[OC = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|\cos \theta = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta \]

Besar $OC = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta $ dinamakan sebagai proyeksi skalar ortogonal dari vektor ${\overrightarrow a }$ pada vektor ${\overrightarrow b }$. Proyeksi skalar ortogonal (biasa disebut proyeksi skalar saja) dari vektor ${\overrightarrow a }$ pada vektor ${\overrightarrow b }$ juga menyatakan panjang proyeksi dari vektor ${\overrightarrow a }$ pada vektor ${\overrightarrow b }$.

Proyeksi skalar ortogonal $OC = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta $ dapat bernilai positif, nol, atau negatif. Hal ini ditentukan oleh besarnya sudut $\theta $.

1. Jika $\theta $ sudut lancip $\left( {{0^ \circ } < \theta < {{90}^ \circ }} \right)$, maka $OC = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta $ bernilai positif.
2. Jika $\theta $ sudut siku-siku $\left( {\theta = {{90}^ \circ }} \right)$, maka $OC = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta $ bernilai nol.
3. Jika $\theta $ sudut tumpul $\left( {{90^ \circ } < \theta < {{180}^ \circ }} \right)$, maka $OC = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta $ bernilai negatif.

Proyeksi Vektor $\overrightarrow a $ pada Vektor $\overrightarrow b $

Perhatikan gambar di atas. Ruas garis berarah $\overrightarrow {OC} $ mewakili vektor $\overrightarrow c $, sehingga vektor $\overrightarrow c $ merupakan proyeksi vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $. Vektor $\overrightarrow c $ dinamakan sebagai proyeksi vektor ortogonal atau proyeksi vektor dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $.

1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $, ditentukan oleh:
\[\left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta \]

Dengan mensubstitusi nilai $\cos \theta = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}$, diperoleh:

$\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow c } \right| &= \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \theta \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| &= \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| &= \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} \end{array}$
2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $, ditentukan oleh:
\[\overrightarrow c = \left| {\overrightarrow c } \right|\widehat e\]

dengan $\widehat e$ adalah vektor satuan dari vektor $\overrightarrow c $. Oleh karena vektor $\overrightarrow c $ searah dengan vektor $\overrightarrow b $, maka vektor satuan dari vektor $\overrightarrow c $ sama dengan vektor satuan dari vektor $\overrightarrow b $. Vektor satuan dari vektor $\overrightarrow b $ ditentukan oleh:

\[\widehat e = \frac{{\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\]

Substitusikan $\left| {\overrightarrow c } \right| = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ dan $\widehat e = \frac{{\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ ke persamaan $\overrightarrow c = \left| {\overrightarrow c } \right|\widehat e$, diperoleh:

$\begin{array}{l} \overrightarrow c &= \left| {\overrightarrow c } \right|\widehat e\\ \Leftrightarrow \overrightarrow c &= \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\frac{{\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow c &= \left( {\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}} \right)\overrightarrow b \end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, rumus proyeksi vektor $\overrightarrow a $ pada vektor $\overrightarrow b $ dapat diungkapkan sebagai berikut.

Misalkan vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ adalah vektor-vektor sembarang (di bidang atau di ruang), dan vektor $\overrightarrow c $ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow a $ pada vektor $\overrightarrow b $.

1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $, ditentukan oleh:
\[\boxed{\left| {\overrightarrow c } \right| = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}}\]
2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $, ditentukan oleh:
\[\boxed{\overrightarrow c = \left( {\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}} \right)\overrightarrow b }\]

Proyeksi Vektor $\overrightarrow b $ pada Vektor $\overrightarrow a $

Rumus proyeksi vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $ dapat diturunkan dengan menggunakan analisis yang sama dengan rumus proyeksi vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $. Rumus proyeksi vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $ dapat diungkapkan sebagai berikut.

Misalkan vektor $\overrightarrow a $ dan vektor $\overrightarrow b $ adalah vektor-vektor sembarang (di bidang atau di ruang), dan vektor $\overrightarrow d $ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow b $ pada vektor $\overrightarrow a $.

1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $, ditentukan oleh:
\[\boxed{\left| {\overrightarrow d } \right| = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}}\]
2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $, ditentukan oleh:
\[\boxed{\overrightarrow d = \left( {\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2}}}} \right)\overrightarrow a }\]

Contoh

Diketahui vektor $\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right)$ dan vektor $\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right)$ adalah vektor-vektor di bidang yang disajikan dalam bentuk vektor kolom.

1. Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $ dan proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $.
2. Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $ dan proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $.

Jawab

1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $, ditentukan oleh:
$\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow c } \right| &= \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ &= \frac{{2 \times 3 + 1 \times 4}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\\ &= \frac{{6 + 4}}{{\sqrt {9 + 16} }}\\ &= \frac{{10}}{5}\\ &= 2 \end{array}$

Jadi, proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $ adalah $\left| {\overrightarrow c } \right| = 2$.

Proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $, ditentukan oleh:

$\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow d } \right| &= \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}\\ &= \frac{{2 \times 3 + 1 \times 4}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}\\ &= \frac{{6 + 4}}{{\sqrt {4 + 1} }}\\ &= \frac{{10}}{\sqrt {5}}\\ &= 2\sqrt {5} \end{array}$

Jadi, proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $ adalah $\left| {\overrightarrow d } \right| = 2\sqrt {5}$.

2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $, ditentukan oleh:
$\begin{array}{l} \overrightarrow c &= \left( {\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}} \right)\overrightarrow b \\ &= \left( {\frac{{2 \times 3 + 1 \times 4}}{{{{\left( {\sqrt {{3^2} + {4^2}} } \right)}^2}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\frac{{6 + 4}}{{{{\left( {\sqrt {9 + 16} } \right)}^2}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\frac{{10}}{{{{\left( {\sqrt {25} } \right)}^2}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right)\\ &= \frac{{10}}{{25}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right)\\ &= \frac{2}{5}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{6}{5}}\\ {\frac{8}{5}} \end{array}} \right) \end{array}$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow a $ pada arah vektor $\overrightarrow b $ adalah $\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{6}{5}}\\ {\frac{8}{5}} \end{array}} \right)$.

Proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $, ditentukan oleh:

$\begin{array}{l} \overrightarrow d &= \left( {\frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2}}}} \right)\overrightarrow a \\ &= \left( {\frac{{2 \times 3 + 1 \times 4}}{{{{\left( {\sqrt {{2^2} + {1^2}} } \right)}^2}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\frac{{6 + 4}}{{{{\left( {\sqrt {4 + 1} } \right)}^2}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\frac{{10}}{{{{\left( {\sqrt {5} } \right)}^2}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right)\\ &= \frac{{10}}{{5}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right)\\ &= 2\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) \end{array}$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow b $ pada arah vektor $\overrightarrow a $ adalah $\overrightarrow d = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)$.