Logika Matematika : Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Ingkaran atau Negasi

Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara seperti itu disebut ingkaran atau negasi.

Jika $p$ adalah pernyataan yang ketahui, maka ingkaran atau negasi dari $p$ dapat ditulis dengan memakai lambang

\[\boxed{ \sim p}\]

(dibaca : tidak benar $p$ atau bukan $p$)

Nilai kebenaran dari ingkaran sebuah pernyataan dapat ditentukan melalui pengamatan pada contoh berikut ini.

Contoh 1

Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut.

1. $p:$ $7$ adalah bilangan asli.
2. $s:$ $9$ adalah faktor dari $27$.

Jawab

1. Ingkaran dari $p:$ $7$ adalah bilangan asli.

$ \sim p:$ Tidak benar $7$ adalah bilangan asli, atau

$ \sim p:$ $7$ bukan bilangan asli.

2. Ingkaran dari $s:$ $9$ adalah faktor dari $27$.

$ \sim s:$ Tidak benar $9$ adalah faktor dari $27$, atau

$ \sim s:$ $9$ bukan faktor dari $27$.

Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Jika $p$ adalah pernyataan yang bernilai benar $(B)$, maka $ \sim p$ bernilai salah $(S)$
2. Jika $p$ adalah pernyataan yang bernilai salah $(S)$, maka $ \sim p$ bernilai benar $(B)$

Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut sebagai tabel kebenaran. Perhatikan tabel kebenaran.

$p$	$ \sim p$
$\begin{array}{l} B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ B \end{array}$

Dengan menggunakan lambang nilai kebenaran, tabel di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Jika $\tau \left( p \right) = B$, maka $\tau \left( { \sim p} \right) = S$ dan jika $\tau \left( p \right) = S$, maka $\tau \left( { \sim p} \right) = B$.

Hubungan antara ingkaran pernyataan dengan komplemen himpunan

Jika $P$ merupakan penyelesaian kalimat terbuka $p\left( x \right)$ dalam semesta $S$, $p$ merupakan pernyataan yang terbentuk dengan mengganti $x \in S$, maka himpunan komplemen dari $P$ (ditulis $P'$) merupakan penyelesaian kalimat terbuka $ \sim p\left( x \right)$ dalam semesta $S$ yang sama.

Disjungsi

DIsjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan $p$ dan $q$ yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

Disjungsi pernyataan $p$ dan pernyataan $q$ ditulis dengan lambang sebagai berikut.

\[\boxed{p \vee q}\]

(dibaca : $p$ atau $q$)

Ada dua macam jenis disjungsi, yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif. Untuk membedakan kedua jenis disjungsi tersebut, simaklah disjungsi-disjungsi berikut.

1. Akar dari bilangan rasional positif adalah rasional atau irasional.
2. Sebuah bilangan asli adalah bilangan cacah atau bilangan bulat.

Disjungsi $i$, yang dimaksud adalah salah satu saja, rasional atau irasional, tetapi tidak keduanya sekaligus. Sebab jika akar dari bilangan rasional positif adalah rasional pasti bukan irasional dan berlaku sebaliknya. Dalam hal demikian kata hubung atau dikatakan bersifat memisahkan atau menyisihkan atau eksklusif. Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan disjungsi eksklusif dan ditulis dengan lambang $p\underline \vee q$ (dibaca : $p$ atau $q$, tetapi tidak $p$ dan $q$).

Disjungsi $ii$, yang dimaksud dapat kedua-duanya, bilangan cacah atau bilangan bulat, atau bilangan cacah dan bilangan bulat. Dalam hal demikian kata hubung atau dikatakan bersifat mencakup atau inklusif. Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan disjungsi inklusif dan ditulis dengan lambang $p \vee q$ (dibaca : $p$ atau $q$, atau $p$ dan $q$). Untuk selanjutnya, disjungsi yang biasa dibahas pada tingkat SMA adalah disjungsi inklusif.

Nilai kebenaran disjungsi $p \vee q$ dapat ditentukan melalui definisi berikut.

$p \vee q$ benar, jika salah satu diantara $p$ dan $q$ benar atau $p$ dan $q$ kedua-duanya benar. $p \vee q$ salah, jika $p$ dan $q$ kedua-duanya salah.

Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran disjungsi $p \vee q$ dapat ditunjukkan seperti tabel berikut.

$p$	$q$	$p \vee q$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ S \end{array}$

Contoh 2

Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini.

1. $3 \times 6 = 18$ atau $18$ adalah bilangan genap.
2. $3 \times 6 = 18$ atau $18$ adalah bilangan ganjil.
3. $3 \times 6 = 10$ atau $10$ adalah bilangan genap.
4. $3 \times 6 = 10$ atau $10$ adalah bilangan ganjil.

Jawab

1. $3 \times 6 = 18$ $\left( B \right)$ atau $18$ adalah bilangan genap $\left( B \right)$, disjungsi ini bernilai benar.
2. $3 \times 6 = 18$ $\left( B \right)$ atau $18$ adalah bilangan ganjil $\left( S \right)$, disjungsi ini bernilai benar.
3. $3 \times 6 = 10$ $\left( S \right)$ atau $10$ adalah bilangan genap $\left( B \right)$, disjungsi ini bernilai benar.
4. $3 \times 6 = 10$ $\left( S \right)$ atau $10$ adalah bilangan ganjil $\left( S \right)$, disjungsi ini bernilai salah.

Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan $p$ dan $q$ yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan.

Konjungsi pernyataan $p$ dan pernyataan $q$ ditulis dengan lambang sebagai berikut.

\[\boxed{p \wedge q}\]

(dibaca : $p$ dan $q$)

Nilai kebenaran konjungsi $p \wedge q$ dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.

$p \wedge q$ benar, jika $p$ benar dan $q$ benar. $p \wedge q$ salah, jika salah satu $p$ atau $q$ salah atau $p$ salah dan $q$ salah.

Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi $p \wedge q$ dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut.

$p$	$q$	$p \wedge q$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ S\\ S \end{array}$

Contoh 3

Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut ini.

1. $3 \times 6 = 18$ dan $18$ adalah bilangan genap.
2. $3 \times 6 = 18$ dan $18$ adalah bilangan ganjil.
3. $3 \times 6 = 10$ dan $10$ adalah bilangan genap.
4. $3 \times 6 = 10$ dan $10$ adalah bilangan ganjil.

Jawab

1. $3 \times 6 = 18$ $\left( B \right)$ dan $18$ adalah bilangan genap $\left( B \right)$, konjungsi ini bernilai benar.
2. $3 \times 6 = 18$ $\left( B \right)$ dan $18$ adalah bilangan ganjil $\left( S \right)$, konjungsi ini bernilai salah.
3. $3 \times 6 = 10$ $\left( S \right)$ dan $10$ adalah bilangan genap $\left( B \right)$, konjungsi ini bernilai salah.
4. $3 \times 6 = 10$ $\left( S \right)$ dan $10$ adalah bilangan ganjil $\left( S \right)$, konjungsi ini bernilai salah.

Dalam bahasa sehari-hari, kata perangkai dan dapat diganti dengan kata perangkai tetapi, walaupun, atau meskipun.

Implikasi

Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan $p$ dan $q$ dalam bentuk jika $p$ maka $q$.

Bagian "jika $p$" dinamakan alasan atau sebab dan bagian "maka $q$" dinamakan kesimpulan atau akibat. Implikasi "jika $p$ maka $q$" dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

\[\boxed{p \Rightarrow q}\]

(dibaca : jika $p$ maka $q$)

Dalam berbagai penerapan, implikasi $p \Rightarrow q$ dapat dibaca:

1. $p$ hanya jika $q$
2. $q$ jika $p$
3. $p$ syarat cukup bagi $q$
4. $q$ syarat perlu bagi $p$

Nilai kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$ dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.

$p \Rightarrow q$ dinyatakan salah, jika $p$ benar dan $q$ salah. Dalam kemungkinan yang lainnya $p \Rightarrow q$ dinyatakan benar.

Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$ dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ B \end{array}$

Contoh 4

Tentukan nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut ini.

1. Jika $3 + 2 = 5$, maka $5$ adalah bilangan prima.
2. Jika $9$ adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota Jawa Timur.
3. Jika Semarang adalah ibukota Jawa Tengah, maka Medan adalah ibukota Sumatra Barat.
4. Jika $\log 3 + \log 5 = \log 8$, maka ${10^3} + {10^5} = {10^8}$.

Jawab

1. Jika $3 + 2 = 5$ $\left( B \right)$, maka $5$ adalah bilangan prima $\left( B \right)$, implikasi ini bernilai benar.
2. Jika $9$ adalah bilangan genap $\left( S \right)$, maka Surabaya ibukota Jawa Timur $\left( B \right)$, implikasi ini bernilai benar.
3. Jika Semarang adalah ibukota Jawa Tengah $\left( B \right)$, maka Medan adalah ibukota Sumatra Barat $\left( S \right)$, implikasi ini bernilai salah.
4. Jika $\log 3 + \log 5 = \log 8$ $\left( S \right)$, maka ${10^3} + {10^5} = {10^8}$ $\left( S \right)$, implikasi ini bernilai salah.

Pengertian Implikasi Logis

Perhatikan kembali implikasi yang terbentuk $p\left( x \right) \Rightarrow q\left( x \right)$, yaitu:

Jika $x - 1 = 0$, maka ${x^2} - 3x + 2 = 0$

Ada hubungan antara kalimat $p\left( x \right):x - 1 = 0$ dengan kalimat $q\left( x \right):{x^2} - 3x + 2 = 0$. Hubungan yang dimaksud adalah tiap pergantian nilai $x$ yang menyebabkan kalimat $p\left( x \right)$ benar, akan menyebabkan kalimat $q\left( x \right)$ juga benar. Implikasi $p\left( x \right) \Rightarrow q\left( x \right)$ yang bersifat seperti itu disebut implikasi logis. Dalam implikasi logis dapat dikatakan bahwa kalimat $p\left( x \right)$ memuat kalimat $q\left( x \right)$. Berikut ini diberikan beberapa contoh implikasi logis.

1. Jika $x=3$, maka ${x^2} = 9$.
2. Jika $n$ genap, maka ${n^2}$ genap.
3. Jika $PQRS$ persegi, maka diagonal $PR=QS$.

Biimplikasi atau Implikasi Dwiarah

Pernyataan $p$ dan pernyataan $q$ dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung "jika dan hanya jika" sehingga diperoleh pernyataan baru yang berbentuk "$p$ jika dan hanya jika $q$". Pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. Biimplikasi "$p$ jika dan hanya jika $q$" dapat ditulis dengan lambang.

\[\boxed{p \Leftrightarrow q}\]

(dibaca: $p$ jika dan hanya jika $q$)

Dalam beberapa penerapan, biimplikasi $p \Leftrightarrow q$ dapat juga dibaca sebagai berikut.

1. Jika $p$ maka $q$ dan jika $q$ maka $p$.
2. $p$ syarat perlu dan cukup bagi $q$.
3. $q$ syarat perlu dan cukup bagi $p$.

Nilai kebenaran biimplikasi $p \Leftrightarrow q$ dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut:

$p \Leftrightarrow q$ dinyatakan benar, jika $\tau \left( p \right) = \tau \left( q \right)$ (dibaca: $p$ dan $q$ mempunyai nilai kebenaran yang sama. $p \Leftrightarrow q$ dinyatakan salah, jika $\tau \left( p \right) \ne \tau \left( q \right)$ (dibaca: $p$ dan $q$ mempunyai nilai kebenaran berbeda.

Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran biimplikasi $p \Leftrightarrow q$ dapat ditunjukkan seperti tabel berikut.

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ S\\ B \end{array}$

Contoh 5

Tentukan nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut ini.

1. ${\left( {16} \right)^{\frac{1}{2}}} = 4$ jika dan hanya jika ${}^{16}\log 4 = \frac{1}{2}$.
2. $9$ adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika ${9^2}$ adalah bilangan prima.

Jawab

1. ${\left( {16} \right)^{\frac{1}{2}}} = 4$ $\left( B \right)$ jika dan hanya jika ${}^{16}\log 4 = \frac{1}{2}$ $\left( B \right)$, biimplikasi ini bernilai benar.
2. $9$ adalah bilangan ganjil $\left( B \right)$ jika dan hanya jika ${9^2}$ adalah bilangan prima $\left( S \right)$, biimplikasi ini bernilai salah.

Pengertian Biimplikasi Logis

Untuk memahami pengertian biimplikasi logis, simaklah kembali kalimat yang berbentuk $p\left( x \right) \Leftrightarrow q\left( x \right)$ berikut.

$x - 1 = 0$ jika dan hanya jika $3x = 3$

Tiap pergantian nilai $x$ yang menyebabkan kalimat $p\left( x \right)$ benar, akan menyebabkan kalimat $q\left( x \right)$ juga benar. Begitu pula tiap pergantian nilai $x$ yang menyebabkan kalimat $q\left( x \right)$ benar, akan menyebabkan kalimat $p\left( x \right)$ juga benar. Biimplikasi $p\left( x \right) \Leftrightarrow q\left( x \right)$ yang bersifat seperti itu disebut biimplikasi logis. Apabila $p\left( x \right) \Leftrightarrow q\left( x \right)$ sebuah biimplikasi logis, dikatakan $p\left( x \right)$ dan $q\left( x \right)$ merupakan dua kalimat yang ekuivalen, ditulis:

$p\left( x \right) \equiv q\left( x \right)$

(dibaca : $p\left( x \right)$ ekuivalen $q\left( x \right)$)

Jadi, dua kalimat terbuka dikatakan ekuivalen jika kedua kalimat terbuka itu mempunyai himpunan penyelesaian yang sama. Berikut ini beberapa contoh biimplikasi logis.

1. ${}^2\log x = 3$ jika dan hanya jika $x = {2^3}$.
2. $x+2=0$ jika dan hanya jika $2x+3=x+1$.
3. $\Delta ABC$ siku-siku jika dan hanya jika $\Delta ABC$ mempunyai sebuah sudut siku-siku.