Logika Matematika : Pernyataan Majemuk, Tautologi, dan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya

Pernyataan-pernyataan yang dirangkai dari dua pernyataan $p$ dan pernyataan $q$ yaitu :

1. disjungsi : $p \vee q$
2. konjungsi : $p \wedge q$
3. implikasi : $p \Rightarrow q$
4. biimplikasi : $p \Leftrightarrow q$

Pernyataan i, ii, iii, dan iv disebut pernyataan majemuk. Kata hubung dan $\left( \wedge \right)$, atau $\left( \vee \right)$, jika maka $\left( \Rightarrow \right)$, dan jika dan hanya jika $\left( \Leftrightarrow \right)$ disebut kata hubung logika. Pernyataan-pernyataan tunggal $p$ dan $q$, yang membentuk pernyataan majemuk itu, disebut komponen atau pernyataan perangkai.

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.

Di samping pernyataan-pernyataan majemuk sederhana di atas, seringkali dijumpai pernyataan-pernyataan majemuk yang lebih rumit. Pernyataan majemuk yang rumit terdiri atas pernyataan-pernyataan $p$, $q$, $r$, $...$ dan seterusnya, disertai gabungan operasi ingkaran $\left( \sim \right)$, kata hubung dan $\left( \wedge \right)$, atau $\left( \vee \right)$, jika maka $\left( \Rightarrow \right)$, dan jika dan hanya jika $\left( \Leftrightarrow \right)$. Berikut ini beberapa contoh pernyataan majemuk yang rumit.

1. $\left( { \sim p \wedge q} \right) \Rightarrow p$
2. $q \Leftrightarrow \left( {p \vee \sim q} \right)$
3. $ \sim \left[ {p \wedge \left( {p \Rightarrow q} \right)} \right]$
4. $\left( {p \wedge q} \right) \Rightarrow \left( {p \vee q} \right)$

Untuk memahami cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, simaklah contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk $ \sim \left( {p \vee \sim q} \right)$.

Jawab

Cara 1

$p$	$q$	$ \sim q$	$\left( {p \vee \sim q} \right)$	$ \sim \left( {p \vee \sim q} \right)$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ B\\ S \end{array}$
$1$	$1$	$2$	$3$	$4$

Cara 2

$ \sim $	$\left( p \right.$	$ \vee $	$ \sim $	$\left. q \right)$
$\begin{array}{l} S\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$
$4$	$1$	$3$	$2$	$1$

Jadi, nilai kebenaran pernyataan $ \sim \left( {p \vee \sim q} \right)$ dapat dilihat pada langkah terakhir yaitu $S$, $S$, $B$, $S$. Dengan menggunakan lambang, nilai kebenaran pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai $\tau \left[ { \sim \left( {p \vee \sim q} \right)} \right] = SSBS$.

Contoh 2

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk $ \sim \left[ {\left( { \sim p \wedge q} \right) \wedge \left( {p \vee r} \right)} \right]$.

Jawab

Cara 1

$p$	$q$	$r$	${ \sim p}$	${ \sim p \wedge q}$	${p \vee r}$	${\left( { \sim p \wedge q} \right) \wedge \left( {p \vee r} \right)}$	$ \sim \left[ {\left( { \sim p \wedge q} \right) \wedge \left( {p \vee r} \right)} \right]$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S\\ B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ S\\ S\\ B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ S\\ S\\ B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ S\\ S\\ B\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ B\\ B\\ B \end{array}$
$1$	$1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

Cara 2

$ \sim \left[ {\left( {} \right.} \right.$	$ \sim $	$p$	$ \wedge $	$q)$	$ \wedge $	$(p$	$ \vee $	$\left. {\left. r \right)} \right]$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ S\\ S\\ B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ S\\ S\\ B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S\\ B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ S\\ S\\ B\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S \end{array}$
$5$	$2$	$1$	$3$	$1$	$4$	$1$	$3$	$1$

Jadi, nilai kebenaran pernyataan $ \sim \left[ {\left( { \sim p \wedge q} \right) \wedge \left( {p \vee r} \right)} \right]$ dapat dilihat pada langkah terakhir yaitu $B$, $B$, $B$, $B$, $S$, $B$, $B$, $B$. Dengan menggunakan lambang, nilai kebenaran pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai $\tau \left\{ { \sim \left[ {\left( { \sim p \wedge q} \right) \wedge \left( {p \vee r} \right)} \right]} \right\} = BBBBSBBB$.

Tautologi

Tinjaulah pernyataan majemuk berikut: $\left[ {\left( {p \Rightarrow q} \right) \wedge p} \right] \Rightarrow q$. Nilai kebenaran pernyataan majemuk itu diperlihatkan pada tabel berikut:

$\left[ {\left( p \right.} \right.$	$ \Rightarrow $	$\left. q \right)$	$ \wedge $	$\left. p \right]$	$ \Rightarrow $	$q$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$
$1$	$2$	$1$	$3$	$1$	$4$	$1$

Berdasarkan tabel pada kolom yang berwarna orange, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah $BBBB$. Dengan kata lain pernyataan majemuk ${\left[ {\left( {p \Rightarrow q} \right) \wedge p} \right] \Rightarrow q}$ selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap pernyataan komponennya. Pernyataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan benar logis. Pernyataan yang benar logis disebut tautologi. Suatu tautologi yang memuat pernyataan implikasi, seperti ${\left[ {\left( {p \Rightarrow q} \right) \wedge p} \right] \Rightarrow q}$, dinamakan implikasi logis. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
2. Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.

Contoh 3

Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $\left[ {\left( {p \Rightarrow q} \right) \wedge \left( {q \Rightarrow r} \right)} \right] \Rightarrow \left( {p \Rightarrow r} \right)$ adalah sebuah tautologi.

Jawab

$\left[ {\left( p \right.} \right.$	$ \Rightarrow $	$\left. q \right)$	$ \wedge $	$\left( q \right.$	$ \Rightarrow $	$\left. {\left. r \right)} \right]$	$ \Rightarrow $	$\left( p \right.$	$ \Rightarrow $	$\left. r \right)$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S\\ B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S\\ B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ S\\ S\\ B\\ S\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S\\ B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ B\\ B\\ S\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B\\ S\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S\\ B\\ S \end{array}$
$1$	$2$	$1$	$3$	$1$	$2$	$1$	$4$	$1$	$2$	$1$

Dari tabel di atas jelas bahwa :

$\tau \left\{ {\left[ {\left( {p \Rightarrow q} \right) \wedge \left( {q \Rightarrow r} \right)} \right] \Rightarrow \left( {p \Rightarrow r} \right)} \right\} = BBBBBBBB$

Jadi, pernyataan majemuk ${\left[ {\left( {p \Rightarrow q} \right) \wedge \left( {q \Rightarrow r} \right)} \right] \Rightarrow \left( {p \Rightarrow r} \right)}$ adalah sebuah tautologi.

Dua Buah Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

untuk memahami pengertian dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalen, perhatikan dua buah pernyataan majemuk berikut.

$a = \left( {p \wedge q} \right)$ dan $b = \left( {q \wedge p} \right)$

Dari pernyataan-pernyataan $a$ dan $b$ itu dapat dibentuk biimplikasi. $a \Leftrightarrow b$ atau $\left( {p \wedge q} \right) \Leftrightarrow \left( {q \wedge p} \right)$. Nilai kebenaran biimplikasi $\left( {p \wedge q} \right) \Leftrightarrow \left( {q \wedge p} \right)$ diperlihatkan pada tabel berikut.

$\left( p \right.$	$ \wedge $	$\left. q \right)$	$ \Leftrightarrow $	$\left( q \right.$	$ \wedge $	$\left. p \right)$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$
$1$	$2$	$1$	$3$	$1$	$2$	$1$

Dari tabel pada kolom yang berwarna orange di atas, tampak bahwa biimplikasi $\left( {p \wedge q} \right) \Leftrightarrow \left( {q \wedge p} \right)$ adalah sebuah tautologi. Tautologi yang berbentuk $a \Leftrightarrow b$ dinamakan ekuivalen logis, ditulis dengan lambang $a \equiv b$ (dibaca $a$ ekuivalen $b$ atau $a$ setara $b$).

Tampak bahwa pernyataan $\left( {p \wedge q} \right)$ dan pernyataan $\left( {q \wedge p} \right)$ mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkianan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Jadi, $\tau \left( {p \wedge q} \right) = \tau \left( {q \wedge p} \right)$ maka $\left( {p \wedge q} \right) \equiv \left( {q \wedge p} \right)$.

Secara umum dapat disimpulkan:

1. Tautologi yang berbentuk $a \equiv b$ dinamakan ekuivalen logis dan ditulis dengan lambang $a \equiv b$ (dibaca: $a$ ekuivalen $b$).
2. Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.

Ingkaran/Negasi dari Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Ingkaran dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.

1. $ \sim \left( {p \vee q} \right) \equiv \left( { \sim p \wedge \sim q} \right)$
2. $ \sim \left( {p \wedge q} \right) \equiv \left( { \sim p \vee \sim q} \right)$
3. $ \sim \left( {p \Rightarrow q} \right) \equiv \left( {p \wedge \sim q} \right)$
4. $ \sim \left( {p \Leftrightarrow q} \right) \equiv \left( {p \wedge \sim q} \right) \vee \left( {q \wedge \sim p} \right)$

Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif pada Disjungsi dan Konjungsi

Operasi-operasi disjungsi $\left( \vee \right)$ dan konjungsi $\left( \wedge \right)$ dalam logika matematika memenuhi sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan distributif seperti pada aljabar biasa.

1. Sifat Komutatif
1. $p \wedge q \equiv q \wedge p$
2. $p \vee q \equiv q \vee p$
2. Sifat Asosiatif
1. $\left( {p \wedge q} \right) \wedge r \equiv p \wedge \left( {q \wedge r} \right)$
2. $\left( {p \vee q} \right) \vee r \equiv p \vee \left( {q \vee r} \right)$
3. Sifat Distributif
1. Distributif disjungsi terhadap konjungsi
$p \vee \left( {q \wedge r} \right) \equiv \left( {q \vee q} \right) \wedge \left( {p \vee r} \right)$
2. Distributif konjungsi terhadap disjungsi
$p \wedge \left( {q \vee r} \right) \equiv \left( {q \wedge q} \right) \vee \left( {p \wedge r} \right)$

Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dengan Implikasi

untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan $p$ dan $q$, hubungan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat diperlihatkan dengan menggunakan tabel berikut.

$p$	$q$	$ \sim p$	$ \sim q$	Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
				$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$ \sim p \Rightarrow \sim q$	$ \sim q \Rightarrow \sim p$
$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ S \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ S\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} S\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ B\\ S\\ B \end{array}$	$\begin{array}{l} B\\ S\\ B\\ B \end{array}$

Berdasarkan tabel di atas, dapat diambil beberapa kesimpulan berikut.

1. Implikasi tidak ekuivalen dengan konversnya.
2. Implikasi tidak ekuivalen dengan inversnya.
3. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya.
4. Konvers ekuivalen dengan invers dari sebuah implikasi.