Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Pengertian Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Untuk memahami pengertian kuantor universal dan kuantor ekstensial, perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.

1. "Semua siswa SMP Negeri 2 Nusantara kelas 9 pandai".

Pernyataan ini mengandung arti bahwa setiap siswa SMP Negeri 2 Nusantara kelas 9 pandai. Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap seperti pada pernyataan $1$ di atas disebut pernyataan berkuantor universal (umum). Kata semua atau setiap disebut kuantor universal.

2. "Beberapa siswa SMP Negeri 2 Nusantara kelas 9 pandai".

Pernyataan ini mengandung arti bahwa siswa SMP Negeri 2 Nusantara kelas 9 secara keseluruhan ada yang pandai dan ada yang tidak pandai. Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada seperti pada pernyataan $2$ di atas disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus). Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial.

Kuantor Universal

Untuk mempelajari kuantor universal dapat dilakukan dengan pendekatan himpunan. Untuk tujuan itu, perhatikan himpunan-himpunan berikut.

• $U$ = Himpunan semua siswa SMP Negeri 2 Bandar.
• $A$ = Himpunan semua siswa SMP Negeri 2 Bandar kelas 7A yang pandai.
• $B$ = Himpunan semua siswa SMP Negeri 2 Bandar kelas 7 yang pandai.

Himpunan-himpunan $A$, $B$, dan $U$ diperlihatkan dengan diagram Venn pada gambar berikut ini.

Berdasarkan diagram di atas, tampak bahwa $A - B = \emptyset $ dan $A \cap B = A$. ini berarti, untuk semua $x \in A$ maka $x \in B$. Dengan demikian pernyataan "Semua siswa SMP Negeri 2 Bandar Kelas 7A yang pandai" dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

\[\boxed{\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B}\]

Lambang $\forall $ (dibaca : untuk semua atau untuk setiap) adalah lambang kuantor universal. Jadi, pernyataan "Semua siswa SMP Negeri 2 Bandar Kelas 7A yang pandai" ekuivalen dengan pernyataan implikasi "Jika $x$ adalah siswa SMP Negeri 2 Bandar Kelas 7A, maka $x$ adalah siswa yang pandai". Secara umum:

Pernyataan berkuantor universal "Semua $A$ adalah $B$" ekuivalen dengan pernyataan implikasi "Jika $x \in A$, maka $x \in B$".

Pada awal pokok bahasan logika matematika ini, kita telah melihat bahwa kalimat terbuka $p\left( x \right)$ dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan $p\left( x \right)$ adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari $p\left( x \right)$ pada himpunan semesta $S$ dituliskan sebagai berikut.

$\forall x,p\left( x \right)$ (dibaca : untuk semua $x$ berlaku $p\left( x \right)$)

atau

$\forall x \in S,p\left( x \right)$ (dibaca : untuk semua $x$ anggota $S$ berlaku $p\left( x \right)$)

Nilai kebenaran (benar atau salah) dari pernyataan berkuantor $\forall x,p\left( x \right)$ ditentukan oleh:

1. himpunan semesta yang ditinjau
2. bentuk kalimat terbuka $p\left( x \right)$

Contoh

Diketahui kalimat terbuka $p\left( x \right):2x - 1 = 3$. Nyatakan pernyataan berkuantor universal dari $p\left( x \right)$ serta nilai kebenarannya, jika himpunan semestanya adalah:

1. semua himpunan bilangan real $\Re $
2. semua himpunan bilangan bulat $B$
3. semua himpunan bilangan asli $\aleph $

Jawab

1. Pernyataan berkuantor universal $\forall x \in \Re ,2x - 1 = 3$

Pernyataan ini bernilai salah, sebab jika diambil pengganti $x=4$ misalnya, diperoleh $2.4 - 1 = 3$ merupakan pernyataan yang salah.

2. Pernyataan berkuantor universal $\forall x \in B,2x - 1 = 3$

Pernyataan ini bernilai salah.

3. Pernyataan berkuantor universal $\forall x \in N,2x - 1 = 3$

Pernyataan ini bernilai salah.

Kuantor Eksistensial

Untuk memahami kuantor eksistensial, perhatikan himpunan-himpunan berikut.

• $U$ = Himpunan semua siswa SMP Negeri 2 Bandar.
• $A$ = Himpunan semua siswa SMP Negeri 2 Bandar kelas 7A.
• $B$ = Himpunan semua siswa SMP Negeri 2 Bandar kelas 7 yang pandai.

Pernyataan "Beberapa siswa SMP Negeri 2 Bandar kelas 7A pandai" dapat diperlihatkan dengan diagram Venn seperti pada gambar berikut.

Berdasarkan diagram Venn di atas, tampak bahwa $A \cap B \ne \emptyset $ (bukan himpunan kosong). Ini berarti, sekurang-kurangnnya ada sebuah elemen $x \in A$ yang juga merupakan $x \in B$.

Dengan demikian, pernyataan "Beberapa siswa SMP Negeri 2 Bandar kelas 7A pandai" dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

\[\boxed{\exists x,x \in A \wedge x \in B}\]

Lambang $\exists $ (dibaca : ada atau beberapa) adalah lambang kuantor eksistensial. Perkataan ada mengandung arti satu atau lebih.

Pernyataan berkuantor eksistensial "Beberapa $A$ adalah $B$" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada sebuah $x \in A$ yang merupakan $ \in B$".

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah membahas ingkaran dari sebuah pernyataan. Paling tidak ada 3 hal yang diingat kembali, yaitu:

1. Ingkaran atau negasi dari pernyataan $p$, dilambangkan dengan $ \sim p$.
2. Jika $p$ pernyataan yang bernilai benar, maka $ \sim p$ bernilai salah.
3. Jika $p$ pernyataan yang bernilai salah, maka $ \sim p$ bernilai benar.

Ketentuan-ketentuan di atas juga berlaku apabila $p$ merupakan pernyataan berkuantor (kuantor universal atau kuantor eksistensial).

Ingkaran Pernyataan Berkuantor Universal

Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.

\[\boxed{ \sim \left[ {\forall x,p\left( x \right)} \right] \equiv \exists x, \sim p\left( x \right)}\]

Dibaca : ingkaran dari "untuk semua $x$ yang berlaku $p\left( x \right)$" ekuivalen dengan "ada $x$ yang bukan $p\left( x \right)$".

Ingkaran Pernyataan Berkuantor Eksistensial

Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut.

\[\boxed{ \sim \left[ {\exists x,p\left( x \right)} \right] \equiv \forall x, \sim p\left( x \right)}\]

Dibaca : ingkaran dari "ada $x$ yang berlaku $p\left( x \right)$" ekuivalen dengan "untuk semua $x$ yang bukan $p\left( x \right)$".