Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran. Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan peubah $x$ dan peubah $y$ disebut persamaan lingkaran. Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh:

• letak pusat lingkaran
• panjang jari-jari

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan Berjari-jari $r$

Gambar berikut memperlihatkan lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ (titik asal koordinat) dan berjari-jari $r$ pada sebuah bidang Cartesius.

Misalkan titik $P\left( {x,y} \right)$ adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik $P'$ adalah proyeksi titik $P$ pada sumbu $X$ sehingga $\Delta OP'P$ merupakan segitiga siku-siku di $P'$.

Karena titik $P\left( {x,y} \right)$ diambil sembarang, maka persamaan ${x^2} + {y^2} = {r^2}$ berlaku untuk semua titik $P\left( {x,y} \right)$ yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Persamaan lingkaran dengan pusat $O$ dan jari-jari $r$ adalah

\[\boxed{{x^2} + {y^2} = {r^2}}\]

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan melalui titik $A\left( {-4,5} \right)$

Jawab

Lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan melalui titik $A\left( {-4,5} \right)$, maka jari-jarinya adalah

$\begin{array}{l} r &= \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\ &= \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} \\ &= \sqrt {16 + 25} \\ &= \sqrt {41} \\ {r^2} &= 41 \end{array}$

Persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} &= {r^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} &= 41 \end{array}$

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan melalui titik $A\left( {-4,5} \right)$ adalah $L \equiv {x^2} + {y^2} = 41$.

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan melalui titik $B\left( {1,3} \right)$

Jawab

Lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan melalui titik $B\left( {1,3} \right)$, maka jari-jarinya adalah

$\begin{array}{l} r &= \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\ &= \sqrt {{1^2} + {3^2}} \\ &= \sqrt {1 + 9} \\ &= \sqrt {10} \\ {r^2} &= 10 \end{array}$

Persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} &= {r^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} &= 10 \end{array}$

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan melalui titik $B\left( {1,3} \right)$ adalah $L \equiv {x^2} + {y^2} = 10$.

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di $A\left( {a,b} \right)$ dan Berjari-jari $r$

Bagaimana bentuk persamaan lingkaran dengan pusat di $A\left( {a,b} \right)$ dan jari-jari $r$? ($a,b,r \in \Re $ dan $r \ge 0$). Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan gambar berikut.

Dengan menerapkan Teorema Phytagoras pada $\Delta AP'P$, diperoleh hubungan:

$\begin{array}{l} AP = \sqrt {{{\left( {AP'} \right)}^2} + {{\left( {PP'} \right)}^2}} \\ r = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} \\ {r^2} = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2}\\ {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2} \end{array}$

Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Persamaan lingkaran dengan pusat di $A\left( {a,b} \right)$ dan jari-jari $r$ adalah

\[\boxed{{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2}}\]

Dalam notasi pembentuk himpunan, persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai berikut.

\[\boxed{L \equiv \left\{ {\left( {x,y} \right)|{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {r^2}} \right\}}\]

Persamaan lingkaran ${{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {r^2}}$ disebut persamaan lingkaran dalam bentuk baku. Artinya, jika suatu persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk baku, maka pusat dan jari-jari lingkaran tersebut dapat ditentukan secara langsung.

Contoh 3

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.

$L \equiv {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16$

Jawab

$L \equiv {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16$, maka pusat di $\left( {5, - 4} \right)$ dan jari-jari lingkaran $r = \sqrt {16} = 4$.

Contoh 4

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.

$L \equiv {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 100$

Jawab

$L \equiv {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 100$, maka pusat di $\left( {- 1, 2} \right)$ dan jari-jari lingkaran $r = \sqrt {100} = 10$.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran

Apa yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran? Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan gambar berikut. Sebuah lingkaran dengan pusat di $\left( {3 , 5} \right)$ dengan jari-jari $5$, persamaannya adalah $L \equiv {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25$.

Jika pernyataan di atas dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, maka diperoleh:

$\begin{array}{l} L &\equiv {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\\ L &\equiv \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 10y + 25} \right) = 25\\ &\equiv {x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0\\ L &\equiv {x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 9 = 0 \end{array}$

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut Bentuk Umum Persamaan Lingkaran dengan pusat di $\left( {3 , 5} \right)$ dengan jari-jari $5$. Berdasarkan contoh di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

Bentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan

\[\boxed{{x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0}\]

dengan $A$, $B$, dan $C$ bilangan-bilangan real

atau

\[\boxed{A{x^2} + A{y^2} + Bx + Cy + D = 0}\]

dengan $A$, $B$, $C$, dan $D$ bilangan-bilangan real, $A \ne 0$.

Jika diamati, bentuk umum persamaan lingkaran memiliki ciri-ciri khusus. Ciri-ciri khusus itu adalah:

1. Peubah $x$ dan peubah $y$ berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian $x$ dengan $y$ (suku $xy$).
2. Koefisien ${x^2}$ sama dengan koefisien ${y^2}$.

Dengan mengenal ciri-ciri khusus dari bentuk umum persamaan lingkaran, kita dapat membedakan apakah suatu persamaan merupakan persamaan lingkaran atau bukan.

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Secara umum, pusat dan jari-jari lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} L &\equiv {x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0\\ \Leftrightarrow L &\equiv {x^2} + Ax + {y^2} + By + C = 0\\ \Leftrightarrow L &\equiv \left( {{x^2} + Ax + \frac{{{A^2}}}{4}} \right) + \left( {{y^2} + By + \frac{{{B^2}}}{4}} \right) + C - \frac{{{A^2}}}{4} - \frac{{{B^2}}}{4} = 0\\ \Leftrightarrow L &\equiv {\left( {x + \frac{A}{2}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{B}{2}} \right)^2} = \frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - C\\ \end{array}$

Berdasarkan persamaan di atas, dapat disimpulkan:

Pusat dan jari-jari lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0$ ditentukan dengan rumus:

• Pusat $\left( { - \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}} \right)$
• Jari-jari $r = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - C} $

Contoh 5

Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut ini.

$L \equiv {x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 9 = 0$

Jawab

Untuk persamaan lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 9 = 0$ diperoleh nilai $A=5$, $B=-4$, dan $C=9$

• Pusat lingkaran:
$\begin{array}{l} \left( { - \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}} \right) &= \left( { - \frac{5}{2}, - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{2}} \right)\\ &= \left( { - \frac{5}{2},2} \right) \end{array}$
• Jari-jari lingkaran:
$\begin{array}{l} r &= \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - C} \\ &= \sqrt {\frac{{{5^2}}}{4} + \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{4} - 9} \\ &= \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{16}}{4} - 9} \\ &= \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{16}}{4} - \frac{{36}}{4}} \\ &= \sqrt {\frac{5}{4}} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt 5 \end{array}$

Jadi, lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 9 = 0$ berpusat di $\left( { - \frac{5}{2},2} \right)$ dan berjari-jari $r = \frac{1}{2}\sqrt 5 $.

Contoh 6

Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut ini.

$L \equiv {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 1 = 0$

Jawab

Untuk persamaan lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 4 = 0$ diperoleh nilai $A=-6$, $B=-2$, dan $C=1$

• Pusat lingkaran:
$\begin{array}{*{20}{l}} {\left( { - \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}} \right)}&{ = \left( { - \frac{{\left( { - 6} \right)}}{2}, - \frac{{\left( { - 2} \right)}}{2}} \right)}\\ {}&{ = \left( {3,1} \right)} \end{array}$
• Jari-jari lingkaran:
$\begin{array}{*{20}{l}} r&{ = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - C} }\\ {}&{ = \sqrt {\frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{4} - 1} }\\ {}&{ = \sqrt {\frac{{36}}{4} + \frac{4}{4} - 1} }\\ {}&{ = \sqrt {9 + 1 - 1} }\\ {}&{ = \sqrt 9 }\\ {}&{ = 3} \end{array}$

Jadi, lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 1 = 0$ berpusat di $\left( {3,1} \right)$ dan berjari-jari $r = 3$.