Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan apabila diketahui satu di antara tiga keterangan berikut.

1. Suatu titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.
2. Gradien garis singgung diketahui.
3. Suatu titik di luar lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Untuk lingkaran dengan pusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan Jari-jari $r$

Perhatikan gambar berikut, persamaan garis singgung $g$ dapat ditentukan sebagai berikut.

• Gradien garis $OP$ adalah ${m_{OP}} = \frac{{{y_1}}}{{{x_1}}}$.
• Karena garis singgung $g$ tegak lurus $OP$ maka gradiennya: ${m_g} = - \frac{1}{{{m_{OP}}}} = - \frac{1}{{\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}}}} = - \frac{{{x_1}}}{{{y_1}}}$.
• Persamaan garis singgung $g$ adalah:
$\begin{array}{l} y - {y_1} &= {m_g}\left( {x - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow y - {y_1} &= - \frac{{{x_1}}}{{{y_1}}}\left( {x - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {y_1}y - y_1^2 &= - {x_1}x + x_1^2\\ \Leftrightarrow {x_1}x + {y_1}y &= x_1^2 + y_1^2\\ \Leftrightarrow {x_1}x + {y_1}y &= {r^2} \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {r^2}$ yang melalui titik $P\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ pada lingkaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

\[\boxed{{x_1}x + {y_1}y = {r^2}}\]

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {20}$ yang melalui titik $Q\left( { - 2,4} \right)$.

Jawab

Titik $Q\left( { - 2,4} \right)$ dengan ${x_1} = - 2$ dan ${y_1} = 4$ terletak pada $L \equiv {x^2} + {y^2} = {20}$.

Persamaan garis singgungnya:

$\begin{array}{l} {x_1}x + {y_1}y &= {r^2}\\ \Leftrightarrow \left( { - 2} \right)x + \left( 4 \right)y &= 20\\ \Leftrightarrow - 2x + 4y &= 20 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {20}$ yang melalui titik $Q\left( { - 2,4} \right)$ adalah $ - 2x + 4y = 20$.

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {13}$ yang melalui titik $P\left( { 3,2} \right)$.

Jawab

Titik $P\left( { 3,2} \right)$ dengan ${x_1} = 3$ dan ${y_1} = 2$ terletak pada $L \equiv {x^2} + {y^2} = {13}$.

Persamaan garis singgungnya:

$\begin{array}{l} {x_1}x + {y_1}y &= {r^2}\\ \Leftrightarrow \left( { 3} \right)x + \left( 2 \right)y &= 13\\ \Leftrightarrow 3x + 2y &= 13 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {13}$ yang melalui titik $Q\left( { 3,2} \right)$ adalah $ 3x + 2y = 13$.

Untuk lingkaran dengan pusat di $A\left( {a,b} \right)$ dan Jari-jari $r$

Perhatikan gambar berikut. Persamaan garis singgung $g$ pada lingkaran $L \equiv {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2}$ yang melalui titik singgung $P\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ dapat ditentukan sebagai berikut.

• Gradien garis $AP$ adalah ${m_{AP}} = \frac{{{y_1} - b}}{{{x_1} - a}}$.
• Garis singgung $g$ tegak lurus garis $AP$, sehingga gradien garis singgung $g$ adalah ${m_g} = - \frac{1}{{{m_{AP}}}} = - \frac{{{x_1} - a}}{{{y_1} - b}}$.
• Persamaan garis singgung $g$ adalah:
$\begin{array}{l} y - {y_1} = {m_g}\left( {x - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow y - {y_1} = - \frac{{{x_1} - a}}{{{y_1} - b}}\left( {x - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {y - {y_1}} \right)\left( {{y_1} - b} \right) = - \left( {{x_1} - a} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {y_1}y - y_1^2 - by + b{y_1} = - \left( {{x_1}x - ax - x_1^2 + a{x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1}x - ax - x_1^2 + a{x_1} + {y_1}y - y_1^2 - by + b{y_1} = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}x - ax + a{x_1} + {y_1}y - by + b{y_1} = x_1^2 + y_1^2 \end{array}$

Karena $P\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ terletak pada lingkaran $L \equiv {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2}$, maka berlaku:

$\begin{array}{l} {\left( {{x_1} - a} \right)^2} + {\left( {{y_1} - b} \right)^2} = {r^2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2a{x_1} + {a^2} + y_1^2 - 2a{y_1} + {b^2} = {r^2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 + y_1^2 = 2a{x_1} - {a^2} + 2a{y_1} - {b^2} + {r^2} \end{array}$

Substitusi $x_1^2 + y_1^2 = 2a{x_1} - {a^2} + 2a{y_1} - {b^2} + {r^2}$ ke persamaan di atas diperoleh:

$\begin{array}{l} {x_1}x - ax + a{x_1} + {y_1}y - by + b{y_1} = x_1^2 + y_1^2\\ \Leftrightarrow {x_1}x - ax + a{x_1} + {y_1}y - by + b{y_1} = 2a{x_1} - {a^2} + 2a{y_1} - {b^2} + {r^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1}x - ax + a{x_1} - 2a{x_1} + {a^2}} \right) + \left( {{y_1}y - by + b{y_1} - 2a{y_1} + {b^2}} \right) = {r^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1}x - ax - a{x_1} + {a^2}} \right) + \left( {{y_1}y - by - b{y_1} + {b^2}} \right) = {r^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_1} - b} \right)\left( {y - b} \right) = {r^2} \end{array}$

Berdasarkan deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2}$ yang melalui titik singgung $P\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ ditentukan dengan dengan rumus sebagai berikut.

\[\boxed{\left( {{x_1} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_1} - b} \right)\left( {y - b} \right) = {r^2}}\]

Contoh 3

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2$ yang melalui titik $Q\left( { 2,-1} \right)$.

Jawab

Titik $Q\left( { 2,-1} \right)$ dengan ${x_1} = 2$ dan ${y_1} = -1$ terletak pada $L \equiv {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2$.

Persamaan garis singgungnya:

$\begin{array}{l} \left( {{x_1} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_1} - b} \right)\left( {y - b} \right) = {r^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( { - 1 + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = 2\\ \Leftrightarrow x - 1 + y + 2 = 2\\ \Leftrightarrow x + y - 1 = 0 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2$ yang melalui titik $Q\left( { 2,-1} \right)$ adalah $x + y - 1 = 0$.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Gradiennya Diketahui

Untuk Lingkaran dengan Pusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan jari-jari $r$

Persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {r^2}$ jika gradien garis singgung $m$ diketahui, dapat ditentukan sebagai berikut.

• Persamaan garis dengan gradien $m$ adalah $y=mx+n$ ($n$ akan ditentukan kemudian).
• Substitusi $y=mx+n$ ke persamaan lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {r^2}$, diperoleh:
$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = {r^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {mx + n} \right)^2} = {r^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {m^2}{x^2} + 2mnx + {n^2} = {r^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {m^2}{x^2} + 2mnx + {n^2} - {r^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + {m^2}} \right){x^2} + 2mnx + \left( {{n^2} - {r^2}} \right) = 0 \end{array}$

Nilai diskriminan persamaan kuadrat $\left( {1 + {m^2}} \right){x^2} + 2mnx + \left( {{n^2} - {r^2}} \right) = 0$ adalah

$\begin{array}{l} D &= {b^2} - 4ac\\ &= {\left( {2mn} \right)^2} - 4\left( {1 + {m^2}} \right)\left( {{n^2} - {r^2}} \right)\\ &= 4{m^2}{n^2} - 4\left( {{n^2} - {r^2} + {m^2}{n^2} - {m^2}{r^2}} \right)\\ &= 4{m^2}{n^2} - 4{n^2} + 4{r^2} - 4{m^2}{n^2} + 4{m^2}{r^2}\\ &= - 4{n^2} + 4{r^2} + 4{m^2}{r^2}\\ D &= 4\left( { - {n^2} + {r^2} + {m^2}{r^2}} \right) \end{array}$
• Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan $D=0$.
$\begin{array}{l} D = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( { - {n^2} + {r^2} + {m^2}{r^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - {n^2} + {r^2} + {m^2}{r^2} = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} = {r^2} + {m^2}{r^2}\\ \Leftrightarrow {n^2} = {r^2}\left( {1 + {m^2}} \right)\\ \Leftrightarrow n = \pm r\sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)} \end{array}$
• Substitusikan $n = \pm r\sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)} $ ke persamaan $y=mx+c$, sehingga diperoleh $y = mx \pm r\sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)} $.

Dengan deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = {r^2}$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

\[\boxed{y = mx \pm r\sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)} }\]

Untuk Lingkaran dengan Pusat di $A\left( {a,b} \right)$ dan jari-jari $r$

Persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2}$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{\left( {y - b} \right) = m\left( {x - a} \right) \pm r\sqrt {1 + {m^2}}} \]

Contoh 4

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = 9$, jika diketahui:

1. gradien persamaan garis singgungnya $2$
2. garis singgung membentuk sudut ${45^ \circ }$ terhadap sumbu $X$.
3. garis singgungnya sejajar dengan garis $x-2y+4=0$

Jawab

Lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = 9$ berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r=3$.

1. Persamaan garis singgung yang mempunyai gradien $m=2$ adalah:
$\begin{array}{l} y &= mx \pm r\sqrt {1 + {m^2}} \\ \Leftrightarrow y &= 2x \pm 3\sqrt {1 + {2^2}} \\ \Leftrightarrow y &= 2x \pm 3\sqrt {1 + 4} \\ \Leftrightarrow y &= 2x \pm 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow y &= 2x + 3\sqrt 5 \wedge y = 2x - 3\sqrt 5 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = 9$ yang mempunyai gradien $m=2$ adalah $y = 2x + 3\sqrt 5 $ dan $y = 2x - 3\sqrt 5 $.

2. garis singgung membentuk sudut ${45^ \circ }$ terhadap sumbu $X$ gradiennya adalah $m = \tan {45^ \circ } = \frac{1}{2}\sqrt 2 $. Persamaan garis singgungnya adalah:
$\begin{array}{l} y &= mx \pm r\sqrt {1 + {m^2}} \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x\sqrt 2 \pm 3\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x\sqrt 2 \pm 3\sqrt {1 + \frac{1}{2}} \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x\sqrt 2 \pm \frac{3}{2}\sqrt 6 \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x\sqrt 2 + \frac{3}{2}\sqrt 6 \wedge y = \frac{1}{2}x\sqrt 2 - \frac{3}{2}\sqrt 6 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = 9$ yang membentuk sudut ${45^ \circ }$ terhadap sumbu $X$ adalah $y = \frac{1}{2}x\sqrt 2 + \frac{3}{2}\sqrt 6 $ dan $y = \frac{1}{2}x\sqrt 2 - \frac{3}{2}\sqrt 6 $.

3. Garis singgung yang sejajar garis $x-2y+4=0$ mempunyai gradien $m = \frac{1}{2}$. Persamaan garis singgungnya adalah:
$\begin{array}{l} y &= mx \pm r\sqrt {1 + {m^2}} \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x \pm 3\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x \pm 3\sqrt {1 + \frac{1}{4}} \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x \pm \frac{3}{2}\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow y &= \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\sqrt 5 \wedge y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\sqrt 5 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {x^2} + {y^2} = 9$ yang yang sejajar garis $x-2y+4=0$ adalah $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\sqrt 5 $ dan $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\sqrt 5 $.

Contoh 5

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ yang sejajar dengan garis $x-2y+4=0$

Jawab

• Persamaan lingkaran $L \equiv {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ berpusat di $(2,-3)$ dan berjari-jari $r=4$.
• Garis $x-2y+4=0$ memiliki gradien $m = \frac{1}{2}$.
• Garis singgung yang sejajar dengan garis $x-2y+4=0$ mempunyai gradien $m = \frac{1}{2}$. Persamaan garis singgungnya adalah:
$\begin{array}{l} \left( {y - b} \right) = m\left( {x - a} \right) \pm r\sqrt {1 + {m^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 2} \right) \pm 4\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 2} \right) \pm 4\sqrt {1 + \frac{1}{4}} \\ \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 2} \right) \pm 4\sqrt {\frac{5}{4}} \\ \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 2} \right) \pm 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow y + 3 = \frac{1}{2}x - 1 \pm 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow y - \frac{1}{2}x + 3 + 1 \pm 2\sqrt 5 = 0\\ \Leftrightarrow y - \frac{1}{2}x + 4 + 2\sqrt 5 = 0 \wedge y - \frac{1}{2}x + 4 - 2\sqrt 5 = 0 \end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ yang yang sejajar garis $x-2y+4=0$ adalah $y - \frac{1}{2}x + 4 + 2\sqrt 5 = 0$ dan $y - \frac{1}{2}x + 4 - 2\sqrt 5 = 0$.